1.2.2 空间中的平面与空间向量-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

1．2.2　空间中的平面与空间向量 1．掌握平面的法向量概念、性质和求法，会利用平面的法向量证明有关线面、面面平行与垂直，重点提升逻辑推理、数学运算核心素养． 2．掌握三垂线定理及其逆定理，并能应用其解决有关线线垂直问题，重点提升直观想象核心素养． 　平面的法向量 给一个定点和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？ 提示：能，可过定点作垂直于定方向的平面． 1．平面法向量的概念 如果α是空间中的一平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时，也称n与平面α垂直，记作n⊥α． 2．平面法向量的性质 (1)直线l，平面α，m是直线l的任意一个方向向量． l⊥α⇔m⊥α，m是平面α的法向量； (2)如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行； (3)如果n是平面α的法向量，A为平面α上的一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．⊥n，即 3．利用平面法向量判定直线与平面，平面与平面的位置关系 (1)如果ν是直线l的一个方向向量；n是平面α的一个法向量；n∥ν⇔l⊥α，n⊥ν⇔l∥α，或l⊂α． (2)如果n1是平面α1的法向量，n2是平面α2的法向量． n1⊥n2⇔α1⊥α2，n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合． 　三垂线定理及其逆定理 INCLUDEPICTURE "backup/想一想.TIF" \* MERGEFORMAT 如图在正方体ABCD­A1B1C1D1中． (1)BD⊥AC1吗？ (2)l是平面ABCD内任意直线，若l⊥AC1，则AC⊥l吗？ 提示：(1)垂直；(2)垂直． 1．射影的概念 已知空间中的平面α以及一点A，过点A作α的垂线l，设l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的射影(也称为投影)，如图1，图形F上所有的点在平面α内的射影所成的集合F′，称为图形F在平面α内的射影． 2．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． (3)如图2，AB是平面α的斜线，AO⊥α，BO是AB在α内的射影，l⊂α，若l⊥BO，则l⊥AB；反之，若l⊥AB，则l⊥BO． 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l的方向向量是唯一的．(　　) (2)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.(　　) (3)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．若平面α、β的法向量分别为u＝(1，2，－2)，ν＝(－3，－6，6)，则(　　) A．α∥β　　　　　　　 B.α⊥β C．α、β相交但不垂直 D.以上均不正确 解析：∵u＝(1，2，－2)，ν＝(－3，－6，6)＝－3(1，2，－2)＝－3u.∴α∥β. 答案：A 3．下列命题中，正确的命题是(　　) A．若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b B．若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b C．若a是平面α的斜线，b是平面α内的一条直线，且b垂直于a在α内的射影，则a⊥b D．若a是平面α的斜线，直线b平行于平面α，且b垂直于a在另一平面β内的射影，则a⊥b 解析：根据三垂线定理判断C项正确，故选C. 答案：C 求平面的一个法向量(小组探究) INCLUDEPICTURE "backup/例1.TIF" \* MERGEFORMAT 　(本节例2拓展)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 【尝试解答】　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，，0)．＝(1，，＝，0)，于是)，B(1，0，0)，C(1，，，0)，E(0，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0， 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， 则即 所以 令y＝－1，则x＝z＝， 所以平面ACE的一个法向量为n＝()．，－1， eq \a\vs4\al() 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量.， (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组： (5)