1.2.1 空间中的点、直线与空间向量-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

1．2　空间向量在立体几何中的应用 1．2.1　空间中的点、直线与空间向量 1．能用向量语言描述空间中的点、直线与空间向量，理解直线的方向向量、重点培养数学抽象核心素养． 2．能用向量方法研究直线与直线的位置关系、两条直线所成的角，重点提升逻辑推理、数学运算核心素养． 　空间中的点、直线与空间向量 1．如图所示的四面体A­BCD中，怎样借助空间向量来描述A、B、C在空间中是不同的点？ 提示：可以借助向量的不同，来描述A、B、C在空间中是不同的点．，， 2．在平面向量中如何用向量法证明AB∥CD? 提示：要证明AB∥CD，证明即可，同时注意AB，CD是否共线．∥ 1．点的位置向量 (1)一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量通常称为点P的位置向量．唯一确定，此时， (2)空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定． 2．直线的方向向量 (1)直线的方向向量 一般地，如果l是空间中的一条直线，ν是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称ν为直线l的一个方向向量．此时，也称向量ν与直线l平行，记作ν∥l． (2)直线的方向向量的有关结论 ①如果A，B是直线l上两个不同的点，则ν＝就是直线l的一个方向向量； ②如果ν是直线l的一个方向向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λν也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行； ③如果ν为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则对于直线l上任意一点B，向量＝λν，这就是说，空间中直线l的位置可由ν和点A唯一确定；一定与非零向量ν平行，从而可知存在唯一的实数λ，使得 ④如果ν1是直线l1的一个方向向量，ν2是直线l2的一个方向向量，则ν1∥ν2⇔l1∥l2，或l1与l2重合． 　空间中两条直线所成的角 1．空间中两条相交直线所成的角是如何规定的？ 提示：空间中两条相交直线所成的角指的是它们相交所得到的不大于直角的角． 2．空间中任意两条直线所成角(即它们之间的夹角)的范围是多少？ 提示：. 　设ν1、ν2分别是空间中直线l1、l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ. (1)θ＝〈ν1，ν2〉或θ＝π－〈ν1，ν2〉． (2)sin θ＝sin〈ν1，ν2〉或cos θ＝|cos 〈ν1，ν2〉|. (3)l1⊥l2⇔〈ν1，ν2〉＝或⇔ν1·ν2＝0． 　异面直线与空间向量 1．空间中两条直线的位置关系有几种？ 提示：有三种．平行、相交或异面． 2．异面直线有什么特点？ 提示：异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线． 1．两条直线是异面直线的条件 设ν1与ν2分别是空间中直线l1，l2的方向向量 (1)“ν1与ν2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件． (2)A∈l1，B∈l2，“ν1，ν2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件． 2．异面直线的公垂线段和距离 一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． 1．若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，2，6)　　　　　　　　　 B.(－1，1，3) C．(3，1，1) D.(－3，0，1) 解析：∵A，B都在直线l上， ∴＝(1，1，3)是直线l的一个方向向量． 2＝(2，2，6)也是直线l的一个方向向量． 答案：A 2．若直线l1的方向向量ν1＝(1，0，－1)，直线l2的方向向量ν2＝(－2，0，2)，则直线l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B.相交 C．垂直 D.不能确定 解析：∵ν2＝－2ν1， ∴ν1∥ν2，即l1∥l2，故选A. 答案：A 3．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于(　　) A．28 B.－28 C．14 D.－14 解析：∵＝(－1，6，λ－3)， ＝(－2，－6，－2)， ＝2－36－2(λ－3)＝0，∴λ＝－14.· 答案：D 4．ν1＝(1，2，－2)，ν2＝(－2，3，2)分别是空间中直线l1，l2的方向向量，则直线l1，l2所成的角大小为________． 解析：设θ是直线l1，l2所成的角，cos θ＝|cos〈ν1，ν2〉|＝＝0， ＝ ∴θ＝90°. 答案：90° 利用直线的方向向量判断两直线的位置关系(小组探究) 　(本节例1变式)设a，b分别是两条不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系． (1)a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)；