专题17 圆（解答题）-三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（湖南专用）

专题17 圆（解答题） 1．（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点． （1）求证：直线与相切； （2）若的直径是10，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】 （1）连接OD，由点D是的中点得OD⊥BC，由DE//BC得OD⊥DE，由OD是半径可得DE是切线； （2）证明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的长，从而可求得结论． 【详解】 解：（1）连接OD交BC于点F，如图， ∵点是的中点， ∴OD⊥BC， ∵DE//BC ∴OD⊥DE ∵OD是的半径 ∴直线与相切； （2）∵AC是的直径，且AB=10, ∴∠ABC=90°， ∵OD⊥BC ∴∠OFC=90° ∴OD//AB ∴ ∵ ∴ ∴ 由勾股定理得， ∴． 【点睛】 此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键． 2．（2021·湖南中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交于点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，求弧的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）连接OB，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得，再证明可得即可； （2）先求出∠COD，然后再运用弧长公式计算即可． 【详解】 （1）证明：连接 ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵点在上 ∴是的切线； （2）∵ ∴ ∴． 【点睛】 本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键． 3．（2021·湖南中考真题）如图，是的直径，D为上一点，E为的中点，点C在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）先证明，通过等量代换再证明即可证明 （2）先证明是等边三角形，再证明，解直角三角形即可计算出结果 【详解】 解：（1）连接， ∵， ∴， 又∵，∴ 又∵，∴ 即， 所以，是的切线． （2）连接、 ∵E是的中点， ∴ ， ∴是等边三角形 从而 ∵， ∴， 所以 在， ∴ 【点睛】 本题考查切线的证明、圆周角定理、等边三角形的证明及性质、锐角三角函数，熟练应用圆的性质及定理是解题的关键 4．（2021·湖南中考真题）如图，在中，，以的中点O为圆心，为直径的圆交于D，E是的中点，交的延长线于F． （1）求证：是圆O的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）连接OD，利用等腰三角形性质，直角三角形证明即可； （2）设OD=x，求证，列比例求解即可． 【详解】 解：证明：连接OD，如图： ∵AB为直径， ∴， ∵点E是BC的中点， ∴ED=EB， ∴， ∵， ∴， ∵OA=OD， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴是圆O的切线． （2）∵E是BC中点，BC=4, ∴BE=2， ∴， 在和中，，， ∴， ∴设OD为x， 则， 解得：, 则． 【点睛】 本题主要考查圆切线的判定、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及相似三角形的判定与性质，利用角的等量转化是解决本题的关键． 5．（2021·湖南中考真题）如图，在半径为5cm的中，AB是的直径，CD是过上点C的直线，且于点D，AC平分，E是BC的中点，． （1）求证：CD是的切线； （2）求AD的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】 （1）连接OC，由题意知∠DAC＝∠OAC＝∠OCA，据此得，根据AD⊥DC即可得证； （2）连接BC，证△ADC∽△ACB即可得． 【详解】 解：（1）如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC平分∠DAO， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴， ∵AD⊥DC， ∴OC⊥DC， 又∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）如图，连接BC，OE， ∵E是BC的中点， ， ∴， ∵AB是⊙O的直径，AD⊥DC，半径， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°，， 又∵∠DAC＝∠CAB， ∴△ADC∽△ACB， 则， ∴． 【点睛】 本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键． 6．（湖南省益阳市2021年中考数学真题）如图，在等腰锐角三角形中，，过点B作于D，延长交的外接圆于点E，过点A作于F，的延