专题15 四边形（解答题）-三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（湖南专用）

专题15 四边形（解答题） 1．（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图，四边形中，，将对角线向两端分别延长至点，，使．连接，，若．证明：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】 先证明，再证明AB∥CD，进而即可得到结论． 【详解】 证明：在和中， ∵， ∴， ∴∠BAE=∠DCF， ∴∠BAC=180°-∠BAE=180°-∠DCF=∠DCA， ∴AB∥CD， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理，掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，是解题的关键． 2．（湖南省永州市2021年中考真题数学试卷）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，． （1）求证：． （2）判断四边形的形状，并证明． 【答案】（1）见详解；（2）四边形是平行四边形，理由见详解 【分析】 （1）由平行线的性质可得∠A=∠B，再证明AC=BD，根据SAS即可得到结论； （2）由得∠ACE=∠BDF，DF=CE，根据平行四边形的判定定理，即可得到结论． 【详解】 （1）证明：∵， ∴∠A=∠B， ∵， ∴，即：AC=BD， 在和中， ∵， ∴； （2）四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴∠ACE=∠BDF，DF=CE， ∴DF∥CE， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理，掌握上述性质和判定定理，是解题的关键． 3．（2021·湖南中考真题）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，． （1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________； （2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形． 【答案】（1）（答案不唯一，符合题意即可）；（2）见解析 【分析】 （1）由题意可知，要使得四边形为平行四边形，则使得即可，从而添加适当条件即可； （2）根据（1）的思路，利用平行四边形的定义证明即可． 【详解】 （1）显然，直接添加，可根据定义得到结果， 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】 本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 4．（2021·湖南怀化市·中考真题）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，．求证： （1） （2） 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】 （1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，再证明∠EAD=∠FCB，利用SAS证明两三角形全等即可． （2）利用，得出∠E=∠F，再利用内错角相等两直线平行即可证明． 【详解】 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AD∥BC，AD=BC ∴∠DAC=∠ACB ∴∠EAD=∠FCB 在△ADE和△CBF中， ∴ (SAS) （2）∵ ∴∠E=∠F ∴ED∥BF 【点睛】 本题考查全等三角形的证明、平行四边形的性质、平行线的判定及性质、灵活进行角的转换是关键． 5．（2021·湖南益阳市·中考真题）如图，在矩形中，已知，求的长． 【答案】12． 【分析】 先根据矩形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】 解：四边形是矩形，， ， 在中，， ， ． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 6．（2021·湖南中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，对角线所在的直线绕点顺时针旋转角，所得的直线分别交，于点． （1）求证：； （2）当旋转角为多少度时，四边形为菱形？试说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）90°，理由见解析 【分析】 （1）根据两直线平行，内错角相等，两直线相交，对顶角相等，且，可以证明两三角形全等； （2）根据平行四边形对角线垂直即可说明． 【详解】 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）当时四边形为菱形， 理由：∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判断定理，菱形的判定定理，解题的关键是：根据两直线平行的性质得出角之间的关系，利用来证明；证明四边形是菱形，只要求证明平行四边形对角线垂直即可． 7．（2021·湖南中考真题）如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，． （1）求证：是矩形； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】 （1）先根据平行四边形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】 （1）证明：四边形是平行四边形， ， 是等边