考向19 三角函数的图象和性质（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向19 三角函数的图象和性质 1.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 解不等式 ，利用赋值法可得出结论. 【详解】 因为函数 的单调递增区间为 ， 对于函数 ，由 ， 解得 ， 取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ， 则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件； 取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ， 且 ， ，CD选项均不满足条件. 故选：A. 【点睛】 方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形式，再求 的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内即可，注意要先把 化为正数． 2．（2021·浙江高考真题）设函数 . （1）求函数 的最小正周期； （2）求函数 在 上的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）由题意结合三角恒等变换可得 ，再由三角函数最小正周期公式即可得解； （2）由三角恒等变换可得 ，再由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】 （1）由辅助角公式得 ， 则 ， 所以该函数的最小正周期 ; （2）由题意， ， 由 可得 ， 所以当 即 时，函数取最大值 . 1.研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函） 或 ，常见方法有： （1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函； （2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角； （3）用两角和、差公式或辅助角公式 将已给函数化成同函. 2.研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述 或 的形式，有时会化简为二次函数型： 或 ，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意 的取值范围. 若将已给函数化简为更高次的函数，如 ，则换元后可通过导数求解.如：解析式中同时含有 和 ，令 EMBED Equation.3 ，由关系式 得到 关于 的函数表达式. 3.求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型： （1） ，令 ，则 ； （2） ，引入辅助角 ，化为 ； （3） ，令 ，则 ； （4） ，令 EMBED Equation.3 ， 则 ，所以 ； （5） ，根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R xx∈R，且xeq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)) 值域[－1,1] [－1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋ kπ(k∈Z)上是递 增函数　　　　 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π 对称性 对称轴是x＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋eq \f(π,2)，0(k∈Z) 对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z) 【知识拓展】 1．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三二模（理））已知函数 在区间 上单调递增，且 在区间 上有且仅有一解，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（2021·山东高三其他模拟）已知函数 的图象上相邻两条对称轴的距离为 ，且过点 ，则需要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ） A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位 C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位 3．（2021·陕西高三其他模拟（理））函数 ，下列描述错误的是（ ） A．定义域是 ，值域是 B．其图象有无数条对称轴 C． 是它的一个零点 D．此函数不是周期函数 4．（2021·赤峰二中高三三模（理））已知函数 ， 为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ） A． B． 在 上存在零点，则a