考向18 同角三角函数的基本关系与诱导公式（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向18 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．（2021·全国高考真题）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 即可得到结果． 【详解】 将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】 易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 2．（2021·江苏高考真题）已知 ，且 ，则 的值是_________. 【答案】 【分析】 先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得. 【详解】 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 . 故答案为： . 1.同角三角函数关系在解题中的应用 (1)利用方程思想，对于sin α，cos α，tan α，由公式sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，可以“知一求二”．对于sin α±cos α，sin αcos α，由下面三个关系式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，可以“知一求二”． (2)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解． 2.诱导公式及应用 (1)诱导公式的两个应用 ①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； ②化简：统一名，统一角，同角名少为终了． (2)学会诱导公式的逆用，如sin α＝sin(π－α)，cos α＝－cos(π－α)等，再如y＝sin中x的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号． ，能将y＝sin＝sin (3)学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为的整数倍． 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：tan α＝. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)． 2．诱导公式 一 二 三 四 五 六 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α tan α tan α －tan α －tan_α 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z(”的终边所在的象限. ＋α(k∈Z(”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z(”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k· 【知识拓展】 同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α. 1．（2021·陕西高三其他模拟（理））设α是第一象限角，满足 ，则 （ ） A．1 B．2 C． D． 2．（2020·江苏高三一模）已知 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3．（2021·全国高三其他模拟（文））已知角 ， ，若 ， ，则 ___________. 4．（2021·江苏扬州中学高三其他模拟）已知 ，那么 ______． 1．（2021·赤峰二中高三三模（理））已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．（2021·福建高三其他模拟）已知 ，且 ，则 （ ）． A． B． C． D． 3．（2021·全国高三其他模拟（理））若 ，则 （ ） A． B． C． D．a 4．（2021·全国高三其他模拟（文））已知 为第三象限角，且 ，则 的值为（ ） A．2 B．-2 C． D． 5．（2021·北京高一其他模拟） （ ） A． B． C． D． 6．（2021·广东高三其他模拟）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿，”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 的等腰三角形（另一种是顶角为 的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形