考点09 函数模型及其应用-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

考点09 函数模型及其应用 【命题趋势】 函数模型及应用.一般出现在选择题和填空题的后两题，有时与导数综合作为解答题的一问呈现，难度较大. 【重要考向】 本节通过零点问题考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的运用，以及考生的逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 二次函数模型的应用 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题. 【典例】 1.在如图所示的三角形空地中，欲建一个如图所示的内接矩形花园（阴影部分），则该矩形花园的面积的最大值为( ) A. 120 B. 210 C. 225 D. 300 答案及解析： 1.C【分析】可设矩形的长为，宽为，则以长为底的三角形和该锐角三角形相似，再根据相似比求出与的关系式，表示出面积关于的关系式，即可求解 【详解】设矩形的长为，宽为，则以长为底的三角形和该锐角三角形相似，可得，则矩形面积，当矩形长时，面积最大，为225 故选：C 【点睛】本题考查以三角形为载体建立的一元二次函数求最值问题，找出长与宽的等量代换关系是解题关键 指数函数、对数函数模型的应用 （1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系. （2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可. 【典例】 2.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系 （k，m为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是64小时，在18℃的保鲜时间是16小时，则该食品在36℃的保鲜时间是（ ） A. 4小时 B. 8小时 C. 16小时 D. 32小时 答案及解析： 2.A【分析】由该食品在0℃的保鲜时间是64小时，在18℃的保鲜时间是16小时，列出方程组，求出e9k，由此能出该食品在36的保鲜时间． 【详解】解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（k，m为常数）， 该食品在0℃的保鲜时间是64小时，在18℃的保鲜时间是16小时， ∴，解得e9k， ∴该食品在36℃的保鲜时间：y＝e36k+m＝（e9k）4×＝（）4×64＝4（小时）． 故选：A． 【点睛】本题考查该食品在36的保鲜时间的求法，考查待定系数法等基础知识，运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 3.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）附： A. 10% B. 20% C. 50% D. 100% 答案及解析： 3.B【分析】根据题意，计算出即可. 【详解】当时，，当时， 因为 所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20% 故选：B 【点睛】本题考查的是对数的运算，掌握对数的运算法则和运算性质是解题的关键，属于中档题. 分段函数模型的应用 （1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数． （2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点． （3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． 【典例】 4.在函数 的图象上有一点，此函数与x轴、直线及围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( ) A. B. C. D. 答案及解析： 4.B【分析】可列出S与t的函数关系式，再根据解析式判定函数图像. 【详解】因为，所以其对应图象为B, 故选：B 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属基础题. 函数模型的比较 根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型. 5.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据： x -2.00 -1.00 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 398 8.02 则x、y的函数