课后限时集训19 利用导数解决函数的零点问题-2021文科数学【课堂新坐标】高三一轮总复习word练习（北师大版）

利用导数解决函数的零点问题 建议用时：45分钟 1．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明： (1)f(x)存在唯一的极值点； (2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． [解](1)证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝.＋ln x－1＝ln x－ 因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减， 所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又f′(1)＝－1＜0，f′(2)＝ln 2－＞0，＝ 故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0. 又当x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 因此，f(x)存在唯一的极值点． (2)证明：由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0， 所以，f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α. 由α>x0>1得＜1＜x0. 又f＝0，－1＝－ln ＝ 故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根． 综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 2．已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋b. (1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)的图像与直线y＝ax恰有两个不同的交点，求实数b的值． [解](1)当a＝－1时，f(x)＝x3＋x2－x＋b， 则f′(x)＝3x2＋2x－1， 由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞.，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和 (2)函数f(x)的图像与直线y＝ax恰有两个不同的交点，等价于f(x)－ax＝0有两个不等的实根． 令g(x)＝f(x)－ax＝x3＋x2＋b，则g′(x)＝3x2＋2x. 由g′(x)＞0，得x＜－或x＞0； 由g′(x)＜0，得－＜x＜0. 所以函数g(x)在上单调递减．和(0，＋∞)上单调递增，在 所以当x＝－＋b；当x＝0时，函数g(x)取得极小值为g(0)＝b.＝时，函数g(x)取得极大值g 要满足题意，则需g或b＝0.＋b＝0或g(0)＝b＝0，所以b＝－＝ 3．(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求f(x)的单调区间； (2)讨论g(x)＝f(x)·在区间[0,1]上零点的个数． [解](1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a， 当a≤0时，f′(x)＞0恒成立， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间； 当a＞0时，令f′(x)＜0，得x＜ln a，令f′(x)＞0，得x＞ln a， ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)． (2)令g(x)＝0，得f(x)＝0或x＝， 先考虑f(x)在区间[0,1]上的零点个数， ①当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且f(0)＝0， ∴f(x)在[0,1]上有一个零点． ②当a≥e时，f(x)在(－∞，1)上单调递减， ∴f(x)在[0,1]上有一个零点． ③当1＜a＜e时，f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a,1)上单调递增． 而f(1)＝e－a－1，当e－a－1≥0，即1＜a≤e－1时，f(x)在[0,1]上有两个零点； 当e－a－1＜0，即e－1＜a＜e时，f(x)在[0,1]上有一个零点． 再考虑x＝－1)．＝0，得a＝2(时，由f 综上所述，当a≤1或a＞e－1或a＝2(－1)时，g(x)在[0,1]上有两个零点； 当1＜a≤e－1且a≠2(－1)时，g(x)在[0,1]上有三个零点. $