课后限时集训14 变化率与导数、导数的计算-2021文科数学【课堂新坐标】高三一轮总复习word练习（北师大版）

变化率与导数、导数的计算 建议用时：45分钟 一、选择题 1．下列求导运算正确的是(　　) A.　　　 B．(log2x)′＝＝1＋ C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2sin x B　[；(3x)′＝3xln 3；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故选项B正确．]＝1－＝x′＋ 2．(2019·成都模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)＝(　　) A．1 B．－1 C．－e　　　　 D．－e－1 D　[由已知得f′(x)＝2f′(e)＋.故选D.]，则f′(e)＝－，令x＝e，可得f′(e)＝2f′(e)＋ 3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是(　　) A．1秒末 B．1秒末和2秒末 C．4秒末 D．2秒末和4秒末 D　[∵s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义可知v＝s′(t)，令s′(t)＝0，得t＝2或4， 即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.] 4．(2019·贵阳模拟)曲线y＝xln x在点(e，e)处的切线方程为(　　) A．y＝2x－e B．y＝－2x－e C．y＝2x＋e D．y＝－x－1 A　[对y＝xln x求导可得y′＝ln x＋1，则曲线在点(e，e)处的切线斜率为ln e＋1＝2，因此切线方程为y－e＝2(x－e)，即y＝2x－e.故选A.] 5．已知直线y＝ax是曲线y＝ln x的切线，则实数a＝(　　) A. B. C. D. C　[设切点坐标为(x0，ln x0)，由y＝ln x的导函数为y′＝.故选C.]解得a＝＋ln x0－1.由题意可知(x－x0)，即y＝知切线方程为y－ln x0＝ 二、填空题 6.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________． x－y－2＝0　[根据导数的几何意义及图像可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.] 7．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． (－∞，0)　[由题意，可知f′(x)＝3ax2＋(x＞0)，故a∈(－∞，0)．]＝0，即a＝－，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋ 8．设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为________． (1，－1)或(－1,1)　[由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为f′(x0)＝3x或解得＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且 所以当时，点P的坐标为(1，－1)； 当时，点P的坐标为(－1,1)．] 三、解答题 9．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求： (1)斜率最小的切线方程； (2)切线l的倾斜角α的取值范围． [解](1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， ∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝， ∴斜率最小时的切点为，斜率k＝－1， ∴切线方程为3x＋3y－11＝0. (2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1， 又∵α∈[0，π)，∴α∈.∪ 故α的取值范围为.∪ 10．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图像为曲线C. (1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围； (2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围． [解](1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3， 则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由已知(2)中条件并结合(1)中结论可知， 解得－1≤k＜0或k≥1， 故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1， 得x∈(－∞，2－，＋∞)．]∪(1,3)∪[2＋ 1．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x D　[因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝