课后限时集训13 实际问题的函数建模-2021文科数学【课堂新坐标】高三一轮总复习word练习（北师大版）

实际问题的函数建模 建议用时：45分钟 一、选择题 1．(2019·广东广州一模)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图像大致是(　　) B　[函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D，一开始，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图像为B，故选B.] 2．某新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　) A．y＝100x　 B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100 C　[根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．故选C.] 3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是(　　) A．减少7.84% B．增加7.84% C．减少9.5% D．不增不减 A　[设某商品原来价格为a，四年后价格为： a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a， (0.921 6－1)a＝－0.078 4a， 所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.] 4．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　) A.eq \f(p＋q,2) B.eq \f(p＋1q＋1－1,2) C.eq \r(pq) D.eq \r(p＋1q＋1)－1 D　[设年平均增长率为x，原生产总值为a，则a(1＋p)·(1＋q)＝a(1＋x)2，解得x＝eq \r(1＋p1＋q)－1，故选D.] 5．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(C，0＜x≤A，,C＋Bx－A，x＞A.))已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表： 月份 用气量 煤气费 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14元 三月份 35 m3 19元 若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为(　　) A．11.5元　　B．11元 C．10.5元　　D．10元 A　[根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝eq \f(1,2)，C＝4，所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4，0＜x≤5，,4＋\f(1,2)x－5，x＞5，))所以f(20)＝4＋eq \f(1,2)(20－5)＝11.5，故选A.] 二、填空题 6．一个工厂生产一种产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系是y＝0.1x2＋10x＋300(0＜x≤240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，生产的产品全部卖出，则该工厂获得最大利润(利润＝销售收入－产品成本)时的产量是________台． 75　[由题意可知，利润f(x)＝25x－y＝－0.1x2＋15x－300，(0＜x≤240，x∈N) ∴当x＝75时，f(x)取到最大值．] 7.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场池，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________m2.(围墙厚度不计) 2 500　[设围成的矩形场地的长为x m， 则宽为eq \f(200－x,4) m，则S＝x·eq \f(200－x,4)＝eq \f(1,4)(－x2＋200x)． 当x＝100时，Smax＝2 500(m2)．] 8．已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P＝eq \f(x,4)；投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q＝eq \f(a,2) eq \r(x)(a＞0)． 若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________． eq \r(5)　[设投资乙商品x万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元． 利润分别为Q＝eq \f(a,2) eq \r(x)(a＞0)，P＝eq \f(20－x,4)， 因为P＋Q≥5,0≤x≤20时恒成立， 则化简得aeq \r(x)≥eq \f(x,2)，0≤x≤20时恒成立． (1)x＝0时，a为一切实数； (2)0＜x≤20时，分离参数a≥eq \f(\r(x),2)，0