考向16 利用导数研究函数的极值与最值（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）

考向16 利用导数研究函数 的极值与最值 1．（2021·全国高考真题（理））设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 结合对 进行分类讨论，画出 图象，由此确定正确选项. 【详解】 若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 . 依题意， 为函数 的极大值点， 当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示： 由图可知 ， ，故 . 当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示： 由图可知 ， ，故 . 综上所述， 成立. 故选：D 【点睛】 本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 2．（2021·全国高考真题（理））设函数 ，已知 是函数 的极值点． （1）求a； （2）设函数 ．证明: ． 【答案】1；证明见详解 【分析】 （1）由题意求出 ，由极值点处导数为0即可求解出参数 ； （2）由（1）得 ， 且 ，分类讨论 和 ，可等价转化为要证 ，即证 在 和 上恒成立，结合导数和换元法即可求解 【详解】 （1）由 ， ， 又 是函数 的极值点，所以 ，解得 ； （2）由（1）得 ， ， 且 ， 当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ； 同理，当 时，要证 ， ， ，即证 ，化简得 ； 令 ，再令 ，则 ， ， 令 ， ， 当 时， ， 单减，假设 能取到，则 ，故 ； 当 时， ， 单增，假设 能取到，则 ，故 ； 综上所述， 在 恒成立 【点睛】 本题为难题，根据极值点处导数为0可求参数 ，第二问解法并不唯一，分类讨论对函数进行等价转化的过程，一定要注意转化前后的等价性问题，构造函数和换元法也常常用于解决复杂函数的最值与恒成立问题. 1.由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点。 2.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 3.求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最值的思路 (1)若所给的闭区间[a，b]不含有参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (2)若所给的闭区间[a，b]含有参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． 1、函数的极值 (1)函数的极小值： 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值： 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 2、函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 【知识拓展】 常用结论： （1）．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． （2）．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． （3）．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 1．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三其他模拟（文））已知函数 在 处有极值10，则 （ ） A． B．0 C． 或0 D． 或6 2．（2021·全国高三其他模拟（理））函数 的最小值为（ ） A． B． C． D．0 3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数 在 上恰有三个极值点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（2021·江苏高三其他模拟）已知 若 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 1．（2021·全国高三其他模拟）