专题11 二次函数（解答题）-三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（湖南专用）

专题11 二次函数（解答题） 1．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表： 进货批次 A型水杯（个） B型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 8000 二 200 300 13000 （1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ （3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资．若A、B两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？ 【答案】（1）A型号水杯进价为20元，B型号水杯进价为30元；（2）超市应将B型水杯降价5元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A，B两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b为4元，利润为3000元． 【分析】 （1）主要运用二元一次方程组，设A型号水杯为x元，B型号水杯为y元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A、B型号水杯的单价； （2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B型水杯降价z元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为w，每个水杯的利润为元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案； （3）根据（1）A型号水杯为20元，B型号水杯为30元．设10000元购买A型水杯m个，B型水杯n个，所得利润为W元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b，W． 【详解】 （1）解：设A型号水杯进价为x元，B型号水杯进价为y元， 根据题意可得：， 解得：， ∴A型号水杯进价为20元，B型号水杯进价为30元． （2）设：超市应将B型水杯降价z元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为w， 根据题意可得：， 化简得：， 当时， ， ∴超市应将B型水杯降价5元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元． （3）设购买A型水杯m个，B型水杯n个，所得利润为W元， 根据题意可得： 将①代入②可得：， 化简得：， 使得A，B两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变， 则，得， 当时，， ∴A，B两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b为4元，利润为3000元． 【点睛】 题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用． 2．（2021·湖南中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量（单位：万件）与销售单价（单位：元）之间有如下表所示关系： … 4.0 5.0 5.5 6.5 7.5 … … 8.0 6.0 5.0 3.0 1.0 … （1）根据表中的数据，在图中描出实数对所对应的点，并画出关于的函数图象； （2）根据画出的函数图象，求出关于的函数表达式； （3）设经营此商品的月销售利润为（单位：万元）． ①写出关于的函数表达式； ②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）图象见详解；（2）；（3）①；②销售单价应定为3元． 【分析】 （1）由题意可直接进行作图； （2）由图象可得y与x满足一次函数的关系，所以设其关系式为，然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可； （3）①由题意易得，然后由（2）可进行求解；②由①及题意可得，然后求解，进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解． 【详解】 解：（1）y关于x的函数图象如图所示： （2）由（1）可设y与x的函数关系式为，则由表格可把代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为； （3）①由（2）及题意可得： ； ∴关于的函数表达式为； ②由题意得：，即， ∴， 解得：， ∴； 答：此时的销售单价应定为3元． 【点睛】 本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键． 3．（2021·湖南永州市·中考真题）已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）． （1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二