专题20 基本不等式-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题20 基本不等式 知识精讲 一、利用基本不等式求最值 1． 基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． ·基本不等式的几何解释： 因为，令，，代入展开可得 ·基本不等式的几何解释： 如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC＝a，BC＝b， 过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD，BD. 由射影定理或三角形相似可得CD＝，由CD小于或等于圆的半径， 可得不等式≤. 当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式及有关结论 (1)基本不等式：如果a>0，b>0，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数． (2)重要不等式：a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． (3)几个常用的重要结论 ① ＋≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)； ② a＋≥2(a>0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋≤－2(a<0，当且仅当a＝－1时取等号)； ③ ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)； ④ ≤≤≤(a，b>0，当且仅当a＝b时取等号)． 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 3. 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大)． 注意：①求最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立． ②连续使用基本不等式时，要注意等号要同时成立． 4. 利用基本不等式求最值的方法 (1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： ①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解． ②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值． (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等． 二、基本不等式在证明不等式中的应用 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题． 三、基本不等式的实际应用 1.用基本不等式解应用题的思维程序为： →→→→ 2．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： (1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题； (3)在定义域内求函数最值； (4)正确写出答案． 四、利用基本不等式解决恒成立问题 (1)f(x)＞α对一切x∈I恒成立⇔f(x)min＞α； f(x)＜α对一切x∈I恒成立⇔f(x)max＜α. (2)f(x)＞g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)min＞g(x)max(x∈I)． (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等． 典例剖析 【例1】（1）已知，如果，那么的最小值为__________； （2）已知，如果，那么的最小值为______； （3）若，则的最小值为 ； （4）已知，且，则的最大值为. 【难度】★ 【答案】（1）2 （2） （3） （4） 【例2】已知实数、，判断下列不等式中哪些一定是正确的？ （1） ； （2）； （3）； （4） （5）； （6） （7） 【难度】★ 【答案】（2）（3）（6）（7） （1）错误。a、b为负实数时不正确 （2）正确 （3）正确 （4）错误。a、b为负实数时不正确 （5）错误。a、b为负实数时不正确 （6）正确 （7）正确 【例3】（1）当0<x<时，函数y＝x(1－2x)的最大值为________． （2）已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值________； （3）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值________； 【难度】★★ 【答案】（1） （2）16 （3）1 【解析】(1)∵0<x<，∴1－2x>0，则y＝·2x(1－2x)≤＝， 当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取到等号，∴ymax＝. (2) ∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝＋＋10≥6＋10＝16. 当且仅当＝时，上式等号成立，又＋＝1，