专题18 分式不等式-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题18 分式不等式 知识精讲 分式不等式的定义： 分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。即：型如或（其中、为整式且）的不等式称为分式不等式。 分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。 分式不等式的解法： 基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。 基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零； ②左边进行通分，化为形如的形式； ③同解变形： ； 含参数的不等式分为两类：①讨论参数的取值确定解集；②给定解集确定参数的取值。 基本方法： 对于第一类，分类讨论一般需要注意以下两方面： （1）的最高次项系数含有参数时，需要讨论系数大于零、等于零、小于零的情况； （2）讨论含参数的根与其他根的大小关系。 而对于第二类，一般只需牢记：不等式解集的端点对应不等式改写为方程后的根，代入即可。 典例剖析 【例1】. 【难度】★★ 【答案】 ，用根轴法（零点分段法）画图如下： + 3 - 2 + 1 - + -1 原不等式的解集为。 【例2】解不等式： 【难度】★★ 【答案】 【点拨】写不等式的解集，不要遗漏使不等式成立的区间端点的值，即要区分开区间和闭区间。 【注意】解分式不等式时，切忌随意去分母。正确的解法是通过讨论决定分母的正负号后，利用不等式的基本性质，将原不等式化为几个不等式组，或先通过移项将不等式的一边变为零后，再通分找到原不等式的等价不等式（组）。 【例3】解不等式 【难度】★★ 【答案】分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组： 或 所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解． 解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集： 或 或 或 或或． ∴原不等式解集是． 解法二：原不等式化为． 画数轴，找因式根，分区间，定符号． 符号 ∴原不等式解集是． 说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解． 解法二中，“定符号”是关键．当每个因式的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用． 【例4】解不等式． 【难度】★★ 【答案】分析：不等式左右两边都是含有的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解． 解：移项整理，将原不等式化为． 由恒成立，知原不等式等价于． 解之，得原不等式的解集为． 说明：此题易出现去分母得的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解． 另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理． 【例5】若关于的不等式； （1）当时，求它的解集； （2）若，求不等式的解集。 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）时，；时，；时， 【例6】关于的不等式的解集为，求的解集。 【难度】★ 【答案】由题意得：，且 则不等式与不等式组同解；得所求解集为 【例7】若不等式的解为，求、的值。 【难度】★★ 【答案】∵， ， ∴原不等式化为． 依题意，∴． 【例8】已知对任意，总有，求实数的取值范围。 【难度】★★ 【答案】，故不等式组可转化为 【例9】、为何值时，下式恒成立： 【难度】★★ 【答案】原不等式可化为： 而 ∴原不等式等价于 由得 对点精练 1、解不等式 【难度】★ 【答案】 2、解不等式 【难度】★★ 【答案】 3、不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【难度】★ 【答案】C 4、不等式的解集为_______________ 【难度】★ 【答案】 5、已知全集，集合，则___________。 A、 B、 C、 D、 【难度】★ 【答案】B 6、求不等式的解集 【难度】★★ 【答案】 7、解不等式 【难度】★★ 【答案】 8、解关于的不等式，其中 【难度】★★★ 【答案】时，；时，；时， 9、设函数 （1）求不等式的解集； （2）求在以上的取值范围的基础上，求解不等式的解集。 【难度】★★★ 【答案】（1）∵x2－2x+2恒正，∴f(x)的定义域是1+2ax>0，即当a=0时，f(x)定义域是全体实数。 当a>0时，f(x)的定义域是（－，+∞）当a<0时，f(x)的定义域是（－∞，－） （2）x2－2x+2>1+2axx2－2(1+a)x+1>0其判别式Δ=4(1+a)2－4=4a(a+2) (i)当Δ<0时