专题17 一元二次不等式-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题17 一元二次不等式 知识精讲 1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)求出相应的一元二次方程的根． (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．含参的一元二次不等式 含参数的不等式应适当分类讨论。对含参的一元二次不等式大致可以分为三类：①根的大小；②二次项系数；③判别式。 3.若一元二次方程的两根为、，则满足，在方程转化为不等式时，不等式解集的端点即为方程的解，也同样满足上述等式关系（韦达定理）。 4.一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数的图象与轴的位置关系问题，若是不等式恒成立，即函数图象恒在轴上方，且与轴无交点，同理可以得到其他类似情形。 5.在一元二次不等式的实际应用中，常见类型有：面积问题、利润问题等常见的优化设计的最值问题；在一元二次不等式的综合应用中，将函数、方程、不等式三者一起综合探讨，对图象、性质、特殊解等进行求解和讨论，注意利用数形结合、参变分离、方程与函数的转化等方法来解决。 典例剖析 【例1】求下列不等式的解集： （1） ； （2）； （3） ； （4） ； （5） . 【难度】★ 【答案】（1） （2）． （3） (-3 ，4) （4） （5） 【例2】解关于的不等式。 【难度】★★ 【答案】原不等式化为 【例3】关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围。 【难度】★★ 【解析】解：原不等式组 由数轴可得：。 【例4】．已知一个一元二次不等式的解集为. （1） 若关于的一元二次不等式为，求、的值。 （2） 若关于的一元二次不等式为，求关于的一元二次不等式的解集。 【难度】★★ 【解析】解： (1)因为一元二次不等式为的解集是， 所以<0,且方程的两个实根是，所以 (2)因为一元二次不等式的解集是，所以,且<0,得 ,所以，不等式可转换为， 因为<0,所以，使得不等式的解集为. 【例5】在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(2－y)，若不等式(x＋m)⊙x<1的解是全体实数，则实数m的取值范围是________． 【难度】★★ 【解析】由题意得不等式(x＋m)(2－x)<1，即x2＋(m－2)x＋(1－2m)>0对任意x∈R恒成立，因此Δ＝(m－2)2－4(1－2m)<0，即m2＋4m<0，解得－4<m<0. 【例6】不等式的解是全体实数，求实数的取值范围． 【难度】★★ 【解析】若，不等式为，其解集为 若，不等式为，其解集显然不是全体实数，故不符合条件． 若，不等式为二次不等式，有 解得 即 综上得， （1）根的大小含参 【例7】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集． 【难度】★★ 【解析】∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0， 即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 得：x1＝－，x2＝. ①a＞0时，－＜，解集为； ②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}； ③a＜0时，－＞，解集为. 综上所述：当a＞0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a＜0时，不等式的解集为. （2）二次项系数含参 【例8】设，解关于的不等式． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】当时，因不成立，故原不等式的解集为． 当时，原不等式化为； 当时，解得； 当时，解得或． （3）判别式含参 【例9】解不等式 【难度】★★ 【答案】 【解析】，故解集为 【例10】若关于的不等式的解集为，则实数等于 . 【难度】★★ 【答案】 【例11】已知函数f(x)＝，则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________． 【难度】★★ 【答案】(－1，－1) 【解析】由题意有或， 解得－1<x<0或0≤x<－1， ∴所求x的取值范围为(－1，－1)． 【例12】.已知集合，， ①实数在什么范围内取值时，？ ②实数在什么范围内取值时，？ 【难度】★★ 【答案】（1）；（2） 【例13】已知关于的不等式 （1）、写出该不等式的解集； （2）、由（1），若，试探求集合中元素的个数是否有限？若是，求出使集合元素个数最少的取值范围，并用列举法写出，若不是，请说明理由。 【难度】★★ 【答案】（1）当时，；当且时，； 当时，；当时， （2）当时，，集合中元素有限，且在时，集合中元素个数最少，此时 【例14】解关于x的不等式(1－ax)2＜1. 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)