1.1.3 第1课时 空间向量的坐标-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教B版）

1．1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时　空间向量的坐标 课程标准 素养解读 1.掌握空间向量的坐标表示 2.会判断两向量平行或垂直 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式 1.会判断两向量平行或垂直．培养数学抽象、直观想象的素养 2.通过空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式的应用达到培养数学运算的素养 [情境引入] 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法…….” 吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算． [知识梳理] [知识点一]　空间中向量的坐标　 一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量　两两垂直　，就称这组基底为　单位正交　基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组　(x，y，z)　为向量p的坐标，记作　p＝(x，y，z)　.其中x，y，z都称为p的坐标分量． 1.若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？ [提示]　不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是． [知识点二]　空间向量的运算与坐标的关系　 假设空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有以下结论： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)； (2)若u，v是两个实数，ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2)； (3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2； (4)|a|＝； ＝ (5)当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝. ＝ 2.若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标一定是(x，y，z)吗？ [提示]　不一定，A点与原点重合时是，不重合时不是． [知识点三]　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直　 (1)当a≠0时，a∥b⇔b＝λa⇔(x2，y2，z2)＝λ(x1，y1，z1)⇔， 当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔ . ＝ ＝ (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对空间任意的两个向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a·b>0，则〈a，b〉为锐角．(　　) (2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒.(　　) ＝＝ (3)四边形ABCD是平行四边形，则向量的坐标相同．(　　) 与 (4)设A(0,1，－1)，O为坐标原点，则＝(0,1，－1)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 解析：D　[a＋b＝(10，－5，－2)，A错误；a－b＝(－2,1，－6)，B错误；a·b＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，C错误；|a|＝＝6，故选D.] 3．已知a＝(1，－2,4)，b＝(－2,4，x)． (1)当a⊥b时，x＝　__________　.(2)当a∥b时，x＝　________　. 解析：(1)由a·b＝－2－8＋4x＝0，得x＝. (2)由a∥b得，解得x＝－8. ＝＝ 答案：(1)　(2)－8 　　　空间向量的坐标运算 [例1]　已知在空间中，A(1，－2,4)，B(－2，3,0)，C(2，－2，－5)． (1)求. ·，－2，＋ (2)若点M满足，求点M的坐标； ＋＝ (3)若p＝，求(p＋q)·(p－q)． ，q＝ [思路点拨]　先由点的坐标求出各个向量的坐标，再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解． 解：(1)因为A(1，－2,4)，B(－2,3,0)，C(2，－2，－5)，所以＝(－1,0,9)． ＝(－3,5，－4)， 所以＝－3＋0＋36＝33. ·＝(1,0，－9)，所以＝(－3,5，－4)，＝(－10,15，－3)，又－2＝(3，－5,4)，所以＝(－4,5,5)，＝(－4,5,5)，又＋ (2)由(1)知，， (1,0，－9)＝(－3,5，－4)＋＝＋＝ 若设M(x，y，z)，则＝(x－1，y＋2，z－4)， 于是解得 故M. (3)由(1)知，p＝＝(－4,5,5)．