1.1.2 空间向量基本定理-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教B版）

1．1.2　空间向量基本定理 课程标准 素养解读 1.掌握空间向量基本定理 2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念 3.会用空间向量基本定理解决有关问题 1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养 2.借助基底的判断及应用提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养 [情境引入] 我们所在的教室即是一个三维立体图，如果以教室的一个墙角为始点，沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量．这三个空间向量是不共面的，那么是否可以用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ [知识梳理] [知识点一]　空间中的共线向量基本定理　 　两个空间向量a，b，如果a≠0，且b∥a，则　存在唯一　的实数λ，难得　b＝λa　. [知识点二]　共面向量定理　 　如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在　唯一　的实数对(x，y)，使　c＝xa＋yb　. 1.　平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？ [提示]　平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立． [知识点三]　空间向量基本定理　 1．如果空间中的三个向量a，b，c　不共面　，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝　xa＋yb＋zc　. 特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0. 2．相关概念 (1)线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的　线性组合　或　线性表达式　. (2)基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底． (3)基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量． (4)分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． 2.平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？ [提示]　空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示． 3．基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？ [提示]　基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量． 3．推广：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面． ＋z＋y＝x [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间向量的基底是唯一的．(　　) (2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量．(　　) (3)已知A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面．(　　) ，， 答案： (1)×　(2)√　(3)√　 2．给出的下列几个命题： ①向量a，b，c共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb； ②零向量的方向是任意的； ③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb. 其中真命题的个数为(　　) A．0　　 B．1　　　C．2　　　D．3 解析：B　[只有②为真命题．] 3．(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．{a，b，x}　　　　　 B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}. 解析： BCD　[如图所示，令a＝. ，a＋b＋c＝，z＝，y＝，则x＝，c＝，b＝ 由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选BCD.] 4．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是　________　. 解析：若x≠0，则a＝－c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0. b－ 答案：x＝y＝z＝0 　　　共线问题 [例1]　 (1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝　________　. ＝5e1＋4e2，＝e1＋ke2， (2)如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且A1O＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． [思路点拨]　(1)根据向量共线的充要条件求解．(2)用向量.和分别表示，， (1)[解析]　＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2. ＋＋＝ 设，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)， ＝λ 所以，解得k＝1. [答案]　1 (2)[证明]