1.1.1 第2课时 空间向量的数量积-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教B版）

第2课时　空间向量的数量积 课程标准 素养解读 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律 3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度 1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养 2.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养 [情境引入] 如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F×S＝|F||S|cos θ，为了在数学中体现“功”的这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念． [知识梳理] [知识点一]　空间向量数量积的概念　 1．空间向量的夹角 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b　互相垂直　，记作a⊥b. 　1.等边△ABC中，的夹角是多少？ 与 [提示]　120° 2．空间向量数量积的定义： 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b. (3)数量积的几何意义 ①向量的投影 如图所示，过向量a的始点和终点分别向向量b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′. ②数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0. [知识点二]　空间向量数量积的性质　 1．a⊥b⇔a·b＝0； 2．a·a＝|a|2＝a2； 3．|a·b|≤|a||b|； 4．(λa)·b＝λ(a·b)； 5．a·b＝b·a(交换律)； 6．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2.(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？ (2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？ [提示]　(1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0. (2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a，b〉不一定是锐角． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(　　) (2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) (3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(　　) (4)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c 解析：B　[对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0； 对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b； 对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．] 3．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝， 则cos〈a，b〉＝　________　.　　 解析：将|a－b|＝， 化为(a－b)2＝7，求得a·b＝ 再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，求得cos〈a，b〉＝. 答案： 　　　数量积的计算 [例1]　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1). ·；　 (4)·；　 (3)·；　(2)· [思路点拨]　计算两向量的数量积首先确定两向量的夹角，要注意向量的方向及夹角的范围． 解：(1). cos 60°＝〉＝，|·cos〈|||＝·＝· (2). |2＝|＝·＝· (3). cos 120°＝－〉＝，|·cos〈|·||＝·＝· (4)·－·)＝－·(＝· ＝|〉＝cos 60°－cos 60°＝0. ，|cos〈||〉－|，|cos〈|| 在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模． (4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． ((((((( 1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则＝　________　. · 解析：·＝· ＝) ·＋·( ＝a2.(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝ 答案：a2 (2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则)＝　________　.＋＋·( 解析：)] －)＋(－[(＋)＝＋(＋＝＋＝ ＝) ＋＋·(.，∴＋＋ ＝. ×12＝×32＋×22＋2＝2＋2＋)＝＋＋·( 答案： 　　　利用数量积证明空间的垂