1.1.1 第1课时 空间向量及其线性运算-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教B版）

1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量及其线性运算 课程标准 素养解读 1.理解空间向量的概念 2.掌握空间向量的线性运算 3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用 通过学习空间向量的概念，空间向量的线性运算，共线向量定理、共面向量定理的应用重点培养学生的逻辑推理、数学运算素养 [情境引入] 本章前图展示的是一个做滑翔运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，例如绳索的拉力，风力，重力等，显然这些力不在同一个平面内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动呢，下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和表示开始． [知识梳理] [知识点一]　空间向量的有关概念　 1．空间向量的概念 (1)定义：空间中既有　大小　又有　方向　的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的　大小　. (3)表示方法 ①几何表示法：可以用　有向线段　来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为|. ，模为| ②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…. 2．几类特殊的向量 (1)零向量：　始点　和　终点　相同的向量称为零向量，记作0. (2)单位向量：模等于　1　的向量称为单位向量． (3)相等向量：大小　相等　、方向　相同　的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向　相反　，大小　相等　的向量称为相反向量． (5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相　平行　，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线　平行　或重合．通常规定零向量与任意向量平行． (6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在　同一平面　内，则称这些向量共面． 1.在空间中，将所有的单位向量的起点移到同一点A，那么它们的终点构成怎样的图形？ [提示]　球面． [知识点二]　空间向量的加减运算及运算律　 1．类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算． (1)如图1，＝a－b. －＝＝a＋b，＋＝ (2)如图2，. ＝＋＋ 即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量． 2．空间向量加法交换律 a＋b＝b＋a 空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2.空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法完全一致吗？ [提示]　完全一致． [知识点三]　空间向量的线性运算　 1．给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa.其中： ①当λ≠0且a≠0时，λa的模为　|λ||a|　，而且λa的方向： (ⅰ)当λ＞0时，与a的方向　相同　； (ⅱ)当λ＜0时，与a的方向　相反　. ②当λ＝0或a＝0时，λa＝　0　. 2．空间向量的线性运算满足如下运算律： 对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量没有方向．(　　) (2)空间向量就是空间中的一条有向线段．(　　) (3)不相等的两个空间向量的模必不相等．(　　) (4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．(　　) (5) 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．已知空间四边形ABCD中，等于(　　) ＝c，则＝b，＝a， A．a＋b－c　　　 B．－a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c 解析：C　[＝－a＋b＋c.]＋－＝＋＋＝ 3．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则的关系是　________　.(填“平行”，“相等”或“相反”) ＋和 解析： 设G是AC的中点，则) ＋(＝＋＝＋＝ 所以2)． ＋∥(，从而＋＝ 答案：平行 　　　空间向量概念 [例1]　给出下列命题： ①零向量没有确定的方向； ②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，； ＝ ③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反； ④在四边形ABCD中，必有. ＝＋ 其中正确命题的序号是　________　. [思路点拨]　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致． [解析]　(1)①正确；②正确，因为.综上可知，正确命题为①②. ＝＋的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有与 [答案]　①② 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方