2.2.2 第2课时 直线的两点式方程-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教B版）

第2课时　直线的两点式方程 课程标准 素养解读 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围 2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围 1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养 2.通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养 [情境引入] 我们知道在直角坐标系内确定一条直线的几何要素：点和倾斜角(斜率)，即已知直线上的一点和直线的斜率可以确定一条直线，或已知两点也可以确定一条直线。这样，在直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程。若给定直线上两点P1(x1，y1)P2(x2，y2)，你能否得出直线的方程呢？ [知识梳理] [知识点一]　直线的两点式方程　 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两 点 式 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)， 其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 斜率存在 且不为0 1.过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ [提示]　不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． [知识点二]　直线的截距式方程　 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截 距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 ＝1＋ 斜率存在且不为0，不过原点 2.方程＝－1都是直线的截距式方程吗？ ＋＝1和－ [提示]　都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程＝1表示．(　　) ＋ (2)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(　　) (3)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(　　) (4)直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是(　　) A.＝0 ＋＝0　　 B.＋ C.＝1 －＝1 D.＋ 解析：C　[由截距式得，所求直线的方程为＝1.]＋ 3．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为　________　. 解析：直线方程为. ＝1，则在x轴上的截距为－＋，化为截距式为＝ 答案：－ 　　　直线的两点式方程 [例1]　已知三角形的三个顶点A(－4,0)，B(0，－3)，C(－2，1)，求： (1)BC边所在的直线方程； (2)BC边上中线所在的直线方程． [思路点拨]　已知直线上两个点的坐标，可以利用两点式写出直线的方程． 解：(1)直线BC过点B(0，－3)，C(－2,1)，由两点式方程得，化简得2x＋y＋3＝0. ＝ (2)由中点坐标公式，得BC的中点D的坐标为()，即D(－1，－1)． ， 又直线AD过点A(－4,0)，由两点式方程得，化简得x＋3y＋4＝0. ＝ 　两点式方程的应用 用两点式方程写出直线的方程时，要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时，不能用两点式．已知直线上的两点坐标，也可先求出斜率，再利用点斜式写出直线方程． ((((((( 1．如图，已知A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2)． ①求线段AB中点D的坐标； ②求△ABC的边AB上的中线所在的直线方程． 解：①因为A(1,2)，B(－1,4)，所以线段AB中点D的坐标为，即D(0,3)． ②△ABC的边AB上的中线即线段CD，因为C(5,2)，D(0,3)．所以线段CD所在的直线方程为，化简可得x＋5y－15＝0. ＝ 　　　直线的截距式方程 [例2]　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程． [思路点拨] [解]　法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b. ①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＝1. ＋ ∵点(4，－3)在直线上，∴＝1， ＋ 若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0. 若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y－7＝0. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x＋4y＝0. 综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0. 法二：设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)， 令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝. ∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等． ∴|－4k－3|＝.∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0. ，解得k＝1或k＝－1或k＝－ 　截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须