2.2.1 直线的倾斜角与斜率-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教B版）

2．2　直线及其方程 2．2.1　直线的倾斜角与斜率 课程标准 素养解读 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率 4.掌握直线的方向向量和法向量 1.通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养 2.通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养 [情境引入] 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝.k>0表示上坡，k<0表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ ＝ [知识梳理] [知识点一]　直线的倾斜角　 1．倾斜角的定义 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按　逆时针　方向旋转到与直线重合时所转的最小　正角　记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角． 2．当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为　0°　. 3．倾斜角α的范围为　[0°，180°)　. 1.如图中标的倾斜角α对不对？ [提示]　都不对． [知识点二]　直线的倾斜角与斜率　 　一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则： (1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝　0°　. (2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝　90°　. (3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝. (4)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，当θ≠90°时，称　k＝tan θ　为直线l的斜率，当　θ＝90°　时，称直线l的斜率不存在． (5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当　x1≠x2　时，直线l的斜率为k＝. 2.运用(5)中公式计算直线AB的斜率时，需要考虑A、B的顺序吗？ [提示]　kAB＝，所以直线AB的斜率与A、B两点的顺序无关．＝kBA＝ [知识点三]　直线的方向向量　 1．一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l　平行或重合　，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. 2．如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定　共线　. 3．如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝　(x2－x1，y2－y1)　是直线l的一个方向向量． 3.设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直线的方向向量吗？ [提示]　(1,1)． 4．一般地，如果已知a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则： (1)当u＝0时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)当u≠0时，直线l的斜率存在，且(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝　　. 　，tan θ＝　 [知识点四]　直线的法向量　 　一般地，如果表示非零向量υ的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量υ为l的一个法向量，记作υ⊥l. 4.如果a＝(－1,2)是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？ [提示]　(2,1)． [预习自测] 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．(　　) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(　　) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线．(　　) (4)斜率公式与两点的顺序无关．(　　) (5)直线的方向向量与法向量不唯一．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．如图所示，直线l的倾斜角为(　　) A．45°　　 B．135°　　　C．0°　　　D．不存在 解析：B　[有倾斜角的定义知直线l的倾斜角为135°.] 3．一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于　________　. 解析：∵k＝tan α＝1.∴α＝45°. 答案：45° 4．直线l经过点A(2,1)和B(－5，－2)，则直线l的一个方向向量为　________　. 解析：＝(－5－2，－2－1)＝(－7，－3)． 答案：(－7，－3) 　　　直线的倾斜角 [例1]　已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？ [思路点拨]　画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角 [解]　由题意画出如草图．由图可知： 当α为钝角时，倾斜角为α－90°， 当α为锐角时，倾斜角为α＋90°， 当α为直角时，倾