1.2.5 空间中的距离-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教B版）

1．2.5　空间中的距离 课程标准 素养解读 1.掌握向量长度计算公式 2.会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和面到面的距离 通过学习空间距离的求解，提升逻辑推理、数学运算素养 [情境引入] “距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等。数学中的“距离” 的概念是从生活中的具体问题中抽象出来的，要求具有准确的定义，以避免歧义，到目前为止，你学过哪些平面内的“距离” ，这些“距离”的定义有什么共同点？由此你能得到空间中任意两个图形之间的距离具有什么性质吗？ [知识梳理] [知识点一]　空间中两点之间的距离　 空间中两点之间的距离指的是这　两个点连线的线段长　. 　在空间中怎样求两点之间的距离？ [提示]　利用向量法转化为求向量的模． [知识点二]　点到直线的距离　 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定　一个平面　，所以过A可以作直线l的一条　垂线段　，　垂线段的长　称为点A到直线l的距离． [知识点三]　点到平面的距离　 1．给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，　垂线段的长　称为点A到平面α的距离． 2．一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d＝ [知识点四]　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离　 (1)当直线与平面平行时，直线上　任意一点到平面的距离　称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝. (2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点　到另一个平面的距离　称为这两个平行平面之间的距离． 如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)可以用|，求空间两点A、B的距离．(　　) ＝|＝ (2)设n是平面α的法向量，A是平面α内一点，AB是平面α的一条斜线，则点B到α的距离为d＝(　　) (3)若直线l与平面α平行，直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l与平面α的距离．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为(　　) A．4　　　D．3　　　C．4　　 B．2 解析：A　[|AB|＝. ]＝4 3．已知平面α的一个法向量n＝(1,0,1)，点A(－1,1,0)在α内，则平面外点P(－1,1,1)到平面α的距离为　________　. 解析：.]＝＝＝(0,0,1)，n＝(1,0,1)，d＝　[ 　空间两点间的距离 [例1] 　如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜)． (1)求MN的长； (2)a为何值时，MN的长最小？ [思路点拨]　建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求解． [解]　(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)． 因为CM＝BN＝a(0<a<)，且四边形ABCD，ABEF为正方形， 所以M， ，N 所以， ＝ 所以|)． (0<a<|＝ (2)由(1)知MN＝. 时，MN＝，所以，当a＝ 即当a＝.时，MN的长最小，最小值为 计算两点间的距离的两种方法 (1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用|求解． ＝|＝ (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时． ((((((( 1．如图所示，在120°的二面角α­AB­β中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长． 解：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴＝0， ·＝0，· 又∵二面角α­AB­β的平面角为120°， ∴〈〉＝60°， ， ∴|CD|2＝|)2＋＋|2＝( ＝)＝3×62＋2×62×cos 60°＝144， ·＋·＋·2＋2(2＋2＋ ∴CD＝12. 　　　点到直线的距离 [例2]　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AA1＝5，求点A1到下列直线的距离： (1)直线AC；(2)直线BD. [解]　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，显然AA1⊥AC， 所以AA1＝5即为所求点A1到直线AC的距离． (2)如图建立空间直角坐标系， 则有B(4,3,0)，A1(4,0,5).