1.2.4 二面角-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教B版）

1．2.4　二面角 课程标准 素养解读 1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角 2.掌握求二面角的方法、步骤 1.通过学习二面角的概念及二面角的平面角，培养数学抽象素养 2.借助求二面角的方法和步骤的学习，提升逻辑推理、数学运算素养 [情境引入] 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与天球相交的大圆为“黄道”．黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内．黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”．从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来． 　问题：空间角包括哪些角？求解空间角常用的方法有哪些？ 答案：线线角、线面角、二面角；　传统方法和向量法． [知识梳理]P1 [知识点一]　二面角的概念　 1．半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，　其中的每一部分　都叫做半平面． 2．二面角：从一条直线出发的　两个半平面　所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的　棱　，　每个半平面　叫做二面角的面．棱为l，两个平面分别为α，β的二面角的面，记作　α­l­β　，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作　A­l­B　，二面角的范围为　[0，π]　. 3．二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱上　任取一点O　，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则　∠AOB　叫做二面角α­l­β的平面角． [知识点二]　用空间向量求二面角的大小　 　如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ.则θ＝　〈n1，n2〉　或θ＝　π－〈n1，n2〉　，sin θ＝　sin〈n1，n2〉　. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二面角的范围是.(　　) (2)若二面角α­l­β的两个半平面的法向量分别为n1，n2，则二面角的平面角与两法向量夹角〈n1，n2〉一定相等．(　　) (3)二面角的大小通过平面角的大小来度量．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则(　　) A．∠ADE是二面角A­PC­B的平面角 B．∠AED是二面角A­PB­C的平面角 C．∠DAE是二面角B­PA­C的平面角 D．∠ACB是二面角A­PC­B的平面角 答案：B 3．已知二面角α­l­β，其中平面α的一个法向量m＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1,1)，则二面角α­l­β的大小可能为　________　. 解析：60°或120°　[cos〈m，n〉＝， ＝－＝ ∴〈m，n〉＝120°， ∴二面角α­l­β的大小为60°或120°.] 　用定义法求二面角 [例1] 　如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若△PAB是边长为2的正三角形，且CO⊥AB，求二面角P­AC­B的正弦值． 解：如图，取AC的中点D，连接OD，PD， ∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥AC， ∵OA＝OC，D为AC的中点，∴OD⊥AC， 又PO∩OD＝O，∴AC⊥平面POD，则AC⊥PD， ∴∠PDO为二面角P­AC­B的平面角． ∵△PAB是边长为2的正三角形，CO⊥AB， ∴PO＝， ，OA＝OC＝1，OD＝ 则PD＝， ＝＝.∴sin∠PDO＝＝ ∴二面角P­AC­B的正弦值为. 用定义求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)． (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角． (3)解三角形求角． ((((((( 1.已知矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝，则二面角A­BD­P的正切值为　________　. 解析：　[过A作AO⊥BD，交BD于O，连接PO， ∵矩形ABCD的两边AB＝3，AD＝4， PA⊥平面ABCD，且PA＝， ∴BD＝＝5，PO⊥BD， ∴∠POA是二面角A­BD­P的平面角， ∵×AB×AD， ×BD×AO＝ ∴AO＝. ＝＝，∴tan∠POA＝＝ ∴二面角A­BD­P的正切值为.] 　用向量法求二面角 [例2]　如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C的余弦值． [思路点拨]　(1)先证线面垂直，再证面面垂直； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解． [解]　(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB