1.2.3 直线与平面的夹角-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教B版）

1．2.3　直线与平面的夹角 课程标准 素养解读 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性 2.会求直线与平面的夹角 　　通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养 [情境引入] 倾斜的大树，因倾斜而闻名的斜塔，高昂的塔克炮筒，发射导弹的壮观场面……在这些画面中都让我们依稀看到了直线与平面相交的影子，如果把大树、斜塔、炮筒、导弹抽象成直线，把地面抽象成平面，怎样来刻画直线相对于平面的倾斜程度？ [知识梳理] [知识点一]　直线和平面所成的角　 [知识点二]　最小角定理　 [知识点三]　用空间向量求直线与平面的夹角　 　如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝　　，特别地cos θ＝　sin〈v，n〉　或sin θ＝　|cos〈v，n〉|　. 　－〈v，n〉或θ＝　〈v，n〉－ 　直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？ [提示]　不是．直线和平面的夹角为. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角．(　　) (2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角．(　　) (3)斜线与平面的夹角为[0,90°]．(　　) (4)直线与平面的夹角为[0,90°]．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120°　　 B．60°　　　C．150°　　　D．30° 解析：D　[因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，所以它们所在直线的夹角为60°，则直线l与平面α所成的角等于90°－60°＝30°.] 3．已知向量m，n分别为直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为　________　. 解析：60°　[设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝.又∵θ∈[0,90°]，∴θ＝60°.] 4．在正方形ABCD­A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为　________　. 解析：30°　[如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1⊥平面AA1C1C， 所以∠B1CO是CB1与平面AA1C1C所成角， 设正方体的棱长为1，则OB1＝， ，CB1＝ sin∠B1CO＝，可得∠B1CO＝30°. ＝ 即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30°.] 　　　用定义法解决直线与平面的夹角问题 [例1] 如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值． [思路点拨]　(1)证明BC和平面PAC内的两条相交直线垂直． (2)作出AD在平面PAC内的射影后，构造三角形求解． [解]　(1)因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC. 又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC，又AC⊂平面PAC， PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC. (2)取PC的中点E，连接DE. 因为D为PB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC. 连接AE，AD，则AE是AD在平面PAC内的投影，所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角．设PA＝AB＝a，在直角三角形ABC中． 因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°， 所以BC＝， ，DE＝ 在直角三角形ABP中，AD＝a， 所以sin∠DAE＝. ＝＝ 即AD与平面PAC夹角的正弦值为. 作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角．其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”． ((((((( 若本例1的题(2)条件不变，求AD与平面PBC的夹角的正弦值，结果如何？ [解]　由例题(1)知BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC. 过A作AE⊥PC.所以AE⊥平面PBC. 连接ED，则∠ADE为AD与平面PBC的夹角．设PA＝2a，AB＝2a，所以PB＝2a. 故AD＝a.在△APC中，AP＝2a， AC＝AB·sin 60°＝2a×a， ＝ 所以PC＝a，设∠ACP＝θ， ＝ 则AE＝AC·sin θ＝AC×a， a＝＝a×＝ 所以sin∠ADE＝. ＝＝ 即AD与平面PBC夹角的正弦值为. 　用向量求直线与平面所成的角 [例2]　如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为