1.2.2 空间中的平面与空间向量-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教B版）

1．2.2　空间中的平面与空间向量 课程标准 素养解读 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量 2.会用平面的法向量证明平行与垂直 3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题 1.通过本节知识的学习，培养数学抽象素养 2.借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养 [情境引入] 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ [知识梳理] [知识点]　平面的法向量　 1．如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个　非零向量　，且表示n的有向线段所在的直线与平面α　垂直　，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α. 　1.平面α的法向量有多少个？它们之间什么关系？ [提示]　无数个　平行 2．一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？ [提示]　垂直 [知识点二]　平面的法向量的性质　 (1)①如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量． ②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行． ③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． 一定与向量n垂直，即n· (2)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔　l⊥α　，n⊥v⇔　l∥α，或l⊂α　. (3)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔　α1⊥α2　，n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合． [知识点三]　三垂线定理及其逆定理　 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的　一条斜线　在该平面内的　射影　垂直，则它也和这条　斜线　垂直． (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的　一条直线　和这个平面的　一条斜线　垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量．(　　) (2)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，则l与m垂直．(　　) (3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√ 2．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　) A．l∥α　　　　　 B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 解析：B　[∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.] 3．设平面α的法向量的坐标为(1,2，－2)，平面β的法向量的坐标为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于　________　. 解析：4　[因为α∥β，∴两平面的法向量平行，∴，∴k＝4.]＝＝ 　　　求平面的法向量 [例1]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量． [思路点拨]　首先建立空间直角坐标系，然后利用待定系数法按照平面法向量的求解步骤进行求解． 解：如图所示建立空间直角坐标系．依题意可得D(0,0,0)，P(0,0,1)， E，B(1,1,0)，于是 ＝(1,1,0)． ，＝ 设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)， 则n⊥，于是，n⊥ 取x＝1，则y＝－1，z＝1，故平面EDB的一个法向量为n＝(1，－1,1)． 　利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)． (3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量. ((((((( 1.如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD的一个法向量； (2)求平面SAB的一个法向量； (3)求平面SCD的一个法向量． 解：以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(，0,0)，S(0,0,1)． (1)∵SA⊥平面ABCD， ∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量． (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB， ∴，0,0)是平面SAB的一个法向量． ＝( (3)在平面