2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷05（上海专用)

绝密★启用前|学科网试题命制中心 2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷05（上海专用) 考生注意： 1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 1、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．（2020·东莞市光明中学高一开学考试）如图，正方形的边长为1，、是对角线，将绕点D顺时针旋转得到，交于点E，连接交于点F，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②；③；④；其中正确的结论是______.（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】在正方形中，将等腰直角三角形旋转，结合等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、菱形的特点、全等三角形的判定即可各结论的正误. 【详解】由题意知：，即有， ∵，，即为等腰直角三角形， ∴，，， 又∵，， ∴为等腰三角形，， ∵且，，即平分， ∴， 又∵，，即有， ∴，， 又∵， ∴ 又∵ ∴四边形是菱形，且 ∴，， . 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查了正方形、等腰直角三角形、菱形、角平分线的性质，以及三角形全等的判定，属于简单题. 2．（2020·黑龙江哈尔滨三中高一开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等腰直角三角形的边在轴的正半轴上，，点在点的右侧，点在第一象限.将绕点逆时针旋转，如果点的对应点恰好落在轴的正半轴上，那么边的长为______. 【答案】 【分析】依据旋转的性质，即可得到∠OAE＝60°，再根据OA＝1，∠EOA＝90°，∠OAE＝60°，即可得出AE，AC．最后在中，可得到AB. 【详解】解：依题可知，∠BAC＝45°，∠CAE＝75°，AC＝AE， 则∠OAE＝180°-45°-75°=60°， 在中，OA＝1，∠EOA＝90°，∠OAE＝60°， ∴AE＝2OA＝2， ∴AC＝AE＝2, ∴在中，AB＝BC＝＝. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化，等腰直角三角形的性质的综合运用，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的图形特征. 3．（2021·重庆市万州南京中学高一开学考试）已知集合，集合．若，则实数________． 【答案】 【分析】利用列方程求出m，注意到集合中元素的互异性，得到正确答案. 【详解】集合，集合． ①若，解得：或. 当时，与元素的互异性相矛盾，舍去. 当时，符合题意. ②若，解得：.舍去. 故. 故答案为：-1. 4．（2021·重庆复旦中学高一开学考试）若关于的不等式的解集为，则实数________． 【答案】 【分析】由二次不等式的解集可得相应一元二次方程的根，利用根与系数的关系求解即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以方程的根为， 所以， 解得：，. 故答案为：. 5．（2021·河北高一开学考试）如果，那么________，（填入“>”或“<”） 【答案】> 【分析】由不等式的基本性质即可判断大小． 【详解】解：因为， 所以， 又， 所以． 故答案为：． 6．（2020·福建厦门一中高一开学考试）如图，在中，，，，，则________. 【答案】70° 【分析】由，可得，再结合等腰三角形及内角和为的条件可得解. 【详解】, , 又，， , , , , 故答案为：70° 【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理;利用题目中隐含的条件平角解题是解决本题得到关键. 7．（2021·上海交大附中高一开学考试）若不等式对任意及恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将不等式通过分离参数化为对任意及恒成立， 所以只需当时，；构造函数，，利用一次函数的性质求实数的范围. 【详解】由题意得对任意及恒成立， 所以对任意恒成立，即对恒成立， 令，则是关于的一次函数， 所以只需，即，解得或或， 所以实数的取值范围是． 故答案为：. 8．（2021·浙江高一开学考试）若正实数、、，满足，，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】由已知条件得出，，由得出，可得出，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】已知实数、、均为正实数，且，，可得， ，所以，， ， ，可得，令，则， 所以，. 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最