第二章 §4 4.2 第3课时 直线与抛物线的位置关系（课件PPT）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案（北师大版）

数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 §4　直线与圆锥曲线的位置关系 4．2　直线与圆锥曲线的综合问题 第3课时　直线与抛物线的位置关系 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 [教材提炼] 知识点一　直线与抛物线位置关系的判定 知识梳理　设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0. (1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点． 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 知识点二　直线与抛物线相交的弦长问题 知识梳理　直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k. (1)一般的弦长公式：|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|. (2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p. (3)求弦长时，为简化计算常常借助根与系数的关系，这样可以避免分别求x1，x2的麻烦，如果是利用弦长求参数的问题，只需要列出参数的方程或不等式即可求解，而x1，x2(y1，y2)一般是求不出来的． 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 题型一　直线与抛物线的交点 [典例]　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C： (1)有一个公共点； (2)有两个公共点； (3)没有公共点． 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 [解析]　将直线l和抛物线C的方程联立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当k＝0时，方程(*)只有一个解，为x＝eq \f(1,4)，此时y＝1. 因为直线l与抛物线C只有一个公共点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，此时直线l平行于x轴． 当k≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2， ①当Δ＞0，即k＜1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交； 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 ②当Δ＝0，即k＝1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切； ③当Δ＜0，即k＞1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离． 综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C有一个公共点． (2)当k＜1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点． (3)当k＞1时，直线l与抛物线C没有公共点． 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．当直线平行于对称轴时，直线与抛物线只有一个交点，此时不是相切． 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 [跟踪训练] 已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点F的距离为5. (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB． 解析：(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，其准线方程为x＝－eq \f(p,2)， ∵P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离， ∴4＋eq \f(p,2)＝5，∴p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x. 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 (2)证明：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－4，))消去y， 得x2－12x＋16＝0，Δ>0， ∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B， ∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16， ∵eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4) ＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16 ＝16＋16－4×12＋16＝0， ∴eq \o(OA,\s\up16(→))⊥eq \o(OB,\s\up16(→))，即OA⊥OB． 数学·选择性必修 第一册 返回导航