第二章 §4 4.1 第2课时 函数奇偶性的应用（课时作业）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（北师大版）

[A基础练] 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　) A．y＝x＋1 B．y＝－x2 C．y＝ D．y＝x|x| 解析：y＝x＋1不是奇函数；y＝－x2在[0，＋∞)上单调递减；y＝在定义域上不是单调函数，故A，B，C都错．实际上，y＝x|x|＝画出图象(图略)，由图象可知，该函数既是奇函数又是增函数． 答案：D 2.已知函数f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x＜0时，函数的图象如图所示，则不等式xf(x)＜0的解集是(　　) A．(－2，－1)∪(1,2) B．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞) 解析：当x＞0时，f(x)＜0，∴x∈(0,1)∪(2，＋∞)；当x＜0时，f(x)＞0，∴x∈(－∞，－2)∪(－1,0)．综上，xf(x)＜0的解集是(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)． 答案：D 3．若函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是(　　) A．f(1)<f <f B．f <f(1)<f C．f <f <f(1) D．f <f(1)<f 解析：∵y＝f(x＋2)是偶函数， ∴y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称， ∴f(1)＝f(3)．又f(x)在(0,2)上为增函数， ∴f(x)在(2,4)上为减函数，∴f <f(1)<f . 答案：B 4．若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))的值为(　　) A．－5 B．－85 C．11 D．－81 解析：当x<0时，－x>0.因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)＝2(－x)2－7x－4＝2x2－7x－4， 所以f(x)＝－2x2＋7x＋4.即g(x)＝－2x2＋7x＋4， 因此，f(g(－1))＝f(－5)＝－50－35＋4＝－81. 答案：D 5．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) 解析：∵f(x)为奇函数，且<0，∴<0，∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，∴当x>1时，f(x)<0.由奇函数图象关于原点对称，所以在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，即x<－1时，f(x)>0.综上，使<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：C 6．已知f(x)是偶函数，当x<0时，f(x)＝x(2x－1)，则当x>0时，f(x)＝________. 解析：当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－x(－2x－1)，又因为f(x)是偶函数， 所以f(x)＝f(－x)＝－x(－2x－1)， 当x>0时，f(x)＝－x(－2x－1)＝x(2x＋1)． 答案：x(2x＋1) 7．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)－f<0的x的取值范围是________． 解析：由f(2x－1)－f<0得f(2x－1)<f，由于f(x)为偶函数，即f(|2x－1|)<f， 由f(x)在[0，＋∞)上单调递增，得|2x－1|<， 即－<2x－1<，解得<x<， 即x的取值范围是. 答案： 8．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝－x2＋4x. (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)若函数y＝f(x)在区间(t，t＋1)上是单调函数，求t的取值范围． 解析：(1)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝－x2＋4x，因为y＝f(x)为定义域R上的奇函数，所以任取x∈(－∞，0]时，f(x)＝－f(－x)＝x2＋4x，所以f(x)＝ (2)由(1)知f(x)＝作出函数图象如图所示，由图象可得，①当t＋1≤－2，即t≤－3时，函数y＝f(x)在区间(t，t＋1)上单调递减；②当－2≤t，且t＋1≤2，即－2≤t≤1时，函数y＝f(x)在区间(t，t＋1)上单调递增；③当t≥2时，函数y＝f(x)在区间(t，t＋1)上单调递减． 综上所述，t的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，－1]∪[2，＋∞)． [B能力练] 9．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)等于 (　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：因为f(x＋2)为偶函数，f(x)为奇函数， 所以设g(x)＝f(x＋2)，则g(－x)＝g(x)， 即f(－x＋2)＝f(x＋2)，因为f(x)是奇函数， 所以f(－x＋2)＝f(x＋2)＝－f(x－2)， 即f(x＋4)＝－f(x)， f(x＋8)＝f(