第2章 §4 4.1 第1课时 函数的奇偶性(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[必备知识·基础巩固] 1．(2025·北京十四中月考)若函数f(x)的定义域为R，则“函数f(x)的图象过原点”是“f(x)为奇函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当函数f(x)的图象过原点时，f(x)不一定为奇函数，如y＝x2的图象过原点，但y＝x2不是奇函数，则充分性不成立；当函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数时，f(0)＝0，则函数f(x)的图象过原点，必要性成立．所以“函数f(x)的图象过原点”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件． 答案　B 2．(多选)给定四个函数，其中是奇函数的有(　　) A．f(x)＝x3　　　　　 B．f(x)＝(x>0) C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝ 解析　对于A，函数的定义域为R，f(x)＝x3，f(－x)＝(－x)3＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数；对于B，函数的定义域不关于原点对称，则函数f(x)为非奇非偶函数；对于C，函数的定义域为R，f(0)＝0＋1＝1≠0，则函数f(x)为非奇非偶函数；对于D，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝－＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数． 答案　AD 3．函数f(x)＝－x的图象关于(　　) A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称 解析　∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f(－x)＝－－(－x)＝－＋x＝－f(x)， ∴f(x)＝－x是奇函数，∴f(x)＝－x的图象关于原点对称． 答案　C 4．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝则f(f(－2))的值为(　　) A．1 B．3 C．－2 D．－3 解析　∵函数f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(－2)＝f(2)＝2－2＝0，f(0)＝0＋1＝1. ∴f(f(－2))＝f(0)＝1. 答案　A 5．已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋＋t，则t＝________，f(－2)＝________. 解析　因为函数f(x)为R上的奇函数， 所以f(0)＝0，即－02＋＋t＝0， 解得t＝－1.所以f(x)＝－x2＋－1. 所以f(2)＝－22＋－1＝－. 又函数f(x)为R上的奇函数， 所以f(－2)＝－f(2)＝. 答案　－1　 6．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. 解析　∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)， 即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|， ∴|－x＋a|＝|x＋a|，∴a＝0. 答案　0 7．已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________. 解析　令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数， ∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2， 又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5. 又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7. 答案　7 8．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，求证：g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)为奇函数． 证明　∵f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数， ∴f(－x)＝f(x)， 即a(－x)2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，∴b＝0， ∴g(x)＝ax3＋cx，其定义域为R， 又g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－(ax3＋cx)＝－g(x) . ∴g(x)为奇函数． [关键能力·综合提升] 9．(多选)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是(　　) A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x) C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x) 解析　∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)． 令y＝g(x)． 对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)， ∴y＝x＋f(x)是奇函数； 对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)， ∴y＝xf(x)是偶函数； 对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，由于g(－x)≠g(x)，g(－x)≠－g(x)， ∴y＝x2＋f(x)既不是奇函数也不是偶函数； 对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－x2f(x)＝－g(x)， ∴y＝x2f(x)是奇函数． 答案　AD 10．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝(　　) A. B． C．－ D．－ 解析　根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数， 故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝. 答案　B 11．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________. 解析　在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中， 令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1， 又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)， ∴f(1)＋g(1)＝1. 答案　1 12．(1)若f(x)是偶函数，则f(1＋)－f＝________. (2)设函数y＝f(x)是奇函数，若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝________. 解析　(1)因为(1－)(1＋)＝－1， 所以＝－(1＋)， 又因为f(x)是偶函数， 所以f＝f(1＋)， 所以f(1＋)－f＝0. (2)因为f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)， 又因为f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3， 所以－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3， 所以f(1)＋f(2)＝－3. 答案　(1)0　(2)－3 13．已知f(x)＝是定义在(－∞，b－3]∪[b－1，＋∞)上的奇函数． (1)若f(2)＝3，求a，b的值； (2)若f(－1)＝0，求函数f(x)在区间[2,4]上的值域． 解析　(1)由题意得，b－3＋b－1＝0， 所以b＝2，所以f(x)＝， 因为f(2)＝3，所以＝3，所以a＝1. (2)因为f(－1)＝0，所以a＝－2， 所以f(x)＝＝－2x＋. 因为函数y＝－2x和y＝在区间[2,4]上都单调递减，所以函数f(x)在区间[2,4]上单调递减， 所以在区间[2,4]上，f(x)max＝f(2)＝－3， f(x)min＝f(4)＝－，所以函数f(x)在区间[2,4]上的值域为. [核心价值·探索创新] 14．定义两种运算：①ab＝，②ab＝，则函数f(x)＝是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析　结合题中新定义的运算有 f(x)＝＝. 若使函数有意义，则求解不等式可得函数的定义域为[－2,0)∪(0,2]， 则函数的解析式为f(x)＝＝， 据此有f(－x)＝＝－＝－f(x)，可得函数f(x)是奇函数． 答案　A 15．(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数； (2)设函数f(x)定义在(－l，l)上，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数． 证明　(1)令x1＝0，x2＝x， 得f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)．① 令x2＝0，x1＝x， 得f(x)＋f(x)＝2f(0)·f(x)．② 由①②，得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)， 即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数． (2)∵x∈(－l，l)， ∴－x∈(－l，l)．f(－x)的定义域也是(－l，l)． 设F(x)＝f(x)＋f(－x)， G(x)＝f(x)－f(－x)， 则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于原点对称的． ∵F(－x)＝f(－x)＋f(－(－x))＝f(－x)＋f(x)＝F(x)， G(－x)＝f(－x)－f(－(－x))＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)， ∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数， 即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数． 学科网（北京）股份有限公司 $$