第5讲 异面直线间的距离（巩固基础+能力提升练习）-【教育机构专用】2021年暑期新高二数学辅导讲义（沪教版2020必修第三册）

第5讲 异面直线间的距离 (巩固基础+能力提升练习） 【巩固基础】 一、单选题 1．（2021·天津高二期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出. 【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 则，， 设和的公垂线的方向向量， 则，即，令，则， ， . 故选：D. 【点睛】本题考查异面直线距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解. 2．（2018·全国高三竞赛）正方体表面正方形的对角线中存在异面直线.如果其中两条异面直线的距离是1，那么，正方体的体积为（ ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【详解】 设正方体的棱长为，若异面直线与的距离为1，则，从而体积. 若异面直线与的距离为1，则，，. 即正方体的体积为1或.选C. 二、填空题 3．（2020·上海松江区·高二期末）已知正方体的棱长为，异面直线与的距离为__________. 【答案】 【分析】根据线面垂直性质可得，又，可知所求距离为，从而得到结果. 【详解】 平面，平面 又 异面直线与之间距离为 故答案为 【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题. 4．（陕西高二专题练习）在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离____． 【答案】 试题分析：设正方体棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设和公垂线段上的向量为，则，即，，，又，，所以异面直线和间的距离为． 考点：本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识． 点评：法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等． 5．（辽宁高三竞赛）在长方体中,已知则异面直线与的距离为______. 【答案】 【详解】由B1D1∥BD,知B1D1∥平面.故直线到的距离等于到平面的距离,记为h. 由条件知.则, 故 6．（2019·全国）已知正方体表面正方形的对角线中存在异面直线．若其中两条异面直线的距离为l，则正方体的体积为______． 【答案】1或 【详解】设正方体的棱长为． 若异面直线与的距离为l，则． 从而，正方体的体积为1． 若异面直线与的距离为1，则，． 从而，正方体的体积为． 故正方体的体积为1或 7．（2018·全国）设为异面直线,在直线上有三点,且,过分别作直线的垂线,垂足分别为.已知.则异面直线与之间的距离为______. 【答案】 【详解】设异面直线之间的距离为,作直线的公垂线段,过点M作直线,且直线与直线确定平面. 由题设,知,且,则.解得. 三、解答题 8．（2018·全国）单位正方体中，为的中点．求异面直线与的距离． 【答案】 【详解】如图，连接． 由，知平面． 设异面直线与的距离为．则点到平面的距离也为． 注意到， 由，有． 故异面直线与的距离为． 【能力提升】 1．（辽宁高三竞赛）在长方体中, .则异面直线与间的距离为 A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】设与交于点,过点作于点. 因为,,所以,平面. 又,于是,平面. 由,知平面.从而,为与间的距离. 由 , ， 得 ， . 2．（2018·全国）如图，在棱长为的正方体中，点、分别是面和的中心．则异面直线与的距离为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连、． 由，知直线与的距离等于直线与面的距离，也等于点与面的距离，设这个距离为．则． 又． 从而，，．选C. 3．（2020·天津市第五十五中学高二月考）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，则在单位正方体中，直线与之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上任取点，作，设， ，根据得出和的关系，从而可得关于(或的函数关系，再求出此函数的最小值即可. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设，， 则， ， ，， 即， ，即， ， ， ， 当时，取得最小值， 故直线与之间的距离是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是运用向量的线性表示方法表示相关向量，然后结合题意建立函数表达式，运用最值方法求出结果. 4．（2019·黑龙江哈尔滨市·哈九中高二期末）在棱长为2的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线的距离之和为，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面内，到直线的距离即为到点A，B的距离，可得到动点的轨迹为以A，B为焦点的椭圆及其方程， 且结合可得解. 【