知识点06 基本不等式-2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲+例+测（苏教版2019必修第一册）

2021-2022学年高一数学同步精品课堂讲、例、测（苏教版2019必修第一册） 知识点6基本不等式 讲 教材知识梳理 基本不等式 1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫作正数a，b的算术平均数，叫作正数a，b的几何平均数． 2．变形：当a，b∈R时， ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)； ab≤2(当且仅当a＝b时，等号成立)． 在基本不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”． 一正：a，b均为正数； 二定：不等式一边为定值； 三相等：不等式中的等号能取到，即a＝b有解． 基本不等式≤(a，b≥0)求最值应注意： (1)a，b是正数． (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． 例 例题研究 一、利用基本不等式求最值题型探究 例题1 已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例题2 在上定义运算，时，不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 跟踪训练 训练1 已知点A（1，2）在直线ax+by﹣1＝0（a＞0，b＞0）上，若存在满足该条件的a，b，使得不等式≤m2+8m成立，则实数m的取值范围是（ ） A．（-∞，-1]∪[9，+∞） B．（-∞，-9]∪[1，+∞） C．[-1，9] D．[-9，1] 训练2 不等式(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝5 B．x＝－3 C．x＝3 D．x＝－5 2、 基本不等式的应用 题型探究 例题1 已知关于的不等式的解集为，若函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数有最小值2 B．函数有最小值 C．函数有最大值-2 D．函数有最大值 例题2 下列说法中错误的是（ ） A．不等式恒成立 B．若，则 C．若，满足，则 D．存在，使得成立 跟踪训练 训练1“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价.甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中），则两个平台的降价力度（　　） A．甲大 B．乙大 C．一样大 D．大小不能确定 训练2 小明同学计划两次购买同种笔芯（两次笔芯的单价不同），有两种方案：第一种方法是每次购买笔芯数量一定；第二种方法是每次购买笔芯所花钱数一定.则哪种购买方式比较经济（ ） A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．无法判断 3、 利用基本不等式求解不等式 题型探究 例题1 下列不等式的证明过程正确的是 A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 例题2 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C． D．或 跟踪训练 训练1 设，，且恒成立，则的最大值是. A． B． C． D． 训练2 若，则下列不等式中正确的不等式有（ ）个. ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 测 综合式测试 1、 选择题 1．若实数，，不等式恒成立，则正实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．正实数x，y，满足，则对的说法不正确的是（ ） A．最小值为3 B．最小值为 C．最小值为 D．不存在最大值 3．已知，且， A．当时，当且仅当时，有最小值 B．当时，当且仅当时，的最小值为25 C．若的最小值为9，则t的值为2 D．若的最小值为25，则t的值为6 4．已知a>0，b>0，a+b=1，则下列等式可能成立的是（ ） A． B． C． D． 5．已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 6．设实数满足，函数的最小值为（ ） A． B． C． D．6 7．是不同时为0的实数，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．已知，满足，则的最小值为（ ） A． B．4 C． D． 2、 填空题 9．已知a，b，，记，则T最大值为________. 10．直角三角形周长为2，则该三角形面积的最大值为__________ 三、解答题 11．在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上. （1）求圆面积的最小