第2讲集合的表示方法-【A+课堂】2021-2022学年高一数学同步精讲精练（沪教版2020必修第一册）

第2讲 集合的表示方法 知识梳理 1.列举法 把集合中的元素不重复地一一列举出来，并用一对大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2.描述法 (1)集合的特征性质 如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质. (2)描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为A={x|x满足性质p}，这种表示集合的方法称为描述法． 3.区间 （1）设a，b∈R，且a＜b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] （2）无穷区间的表示 定义 {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x＜a} {x|x≤a} R 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a) (－∞，a] (－∞，＋∞) 题型探究 题型一、用列举法表示集合 【例1】用列举法表示下列给定的集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程x2－2x－3＝0的实数根组成的集合C； (4)方程组的解集D. 【答案】（1）A＝{0,2,4,6,8,10}；（2）B＝{2,3,5,7}；（3）C＝{－1,3}；（4）D＝{(3,1)}. 【解析】(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10， 所以A＝{0,2,4,6,8,10}． (2)小于8的质数有2,3,5,7， 所以B＝{2,3,5,7}． (3)方程x2－2x－3＝0的实数根为－1,3， 所以C＝{－1,3}． (4)方程组的解为 所以方程组的解集D＝{(3,1)}． 总结：列举法表示的集合的种类 (1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}． (2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1 000}． (3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N”可以表示为{0，1，2，3，…}． 注意：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}． 题型二、用描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合： (1)不等式2x－3<1的解组成的集合A； (2)被3除余2的正整数的集合B； (3)C＝{2,4,6,8,10}； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D. 【答案】（1）A＝{x|x<2}；（2）B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}；（3）C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}；（4）D＝{(x，y)|x<0，y>0}. 【解析】(1)不等式2x－3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}． (2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}． (3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，所以x＝2n，n≤5，n∈N*.所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}． (4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}． 注意：利用描述法表示集合的注意事项 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}． (2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． 题型三、集合相等 【例3】下列集合中表示同一集合的是(　　) A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{2，3}，N＝{3，2} C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)} 【答案】B 【解析】A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合． C中的集合M是由一次函