第一章 章末提升 集合-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册同步导学案（苏教版）课件PPT

数学·必修 第一册 返回导航 下页 上页 集合 数学·必修 第一册 返回导航 下页 上页 知识网络 专题提能 数学·必修 第一册 返回导航 下页 上页 数学·必修 第一册 返回导航 下页 上页 专题一　数形结合思想 [例1]　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(UA)∪B，A∩(UB)． [解析]　如图所示，在数轴上表示集合A，B，U. ∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}， ∴UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}． ∴A∩B＝{x|－2<x≤2}． (UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(UB)＝{x|2<x<3}． 数学·必修 第一册 返回导航 下页 上页 在数轴上表示{x|－2<x<3}时，不等号中不含“＝”，因此在－2,3处都应该是空心点； 在数轴上表示{x|－3≤x≤2}时，不等号中含“＝”，因此在－3,2处都应该是实心点． 数学·必修 第一册 返回导航 下页 上页 [跟踪训练] 1．已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}．若B⊆A，求实数a的取值范围． 解析：因为B⊆A， ①当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3； ②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴， 数学·必修 第一册 返回导航 下页 上页 可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,a＋3<－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,2a>4，)) 解得a<－4或2<a≤3. 综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4，或a>2}． 数学·必修 第一册 返回导航 下页 上页 [解析]　如图所示，由A＝{x|x<－6，或x>3}，B＝{x|k≤x≤k＋1}得， 若A∩B＝，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k≥－6，,k＋1≤3，))解得－6≤k≤2. 令P＝{k|－6≤k≤2}，则RP＝{k|k<－6，或k>2}． 故当A∩B≠时，实数k的取值范围是{k|k<－6，或k>2}． 专题二　化归与转化思想 [例2]　已知集合A＝{x|x<－6，或x>3}，B＝{x|k≤x≤k＋1}．若A∩B≠，求实数k的取值范围． 数学·必修 第一册 返回导航 下页 上页 化归与转化思想是在研究和解决数学问题时借助数学知识和数学方法，将问题进行转化，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，未知问题已知化，进而达到解决问题的目的的数学思想．其中“补集思想”就是集合中化归与转化思想的一种具体体现，它是指在解答一些较复杂的问题时，如果从正面直接入手比较困难，那么采用“补集思想”，考虑问题的反面，再求结果的补集，从而可以简捷地解答问题． 数学·必修 第一册 返回导航 下页 上页 解析：当A∩B＝时，集合A，B在数轴上表示如图． 由图得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≤2，,a2＋1≥4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≤2，,a≥\r(3)或a≤－\r(3).)) ∴a≤－eq \r(3)或eq \r(3)≤a≤2. ∴当A∩B＝时，实数a的取值范围为{a|a≤－eq \r(3)，或eq \r(3)≤a≤2}． 当A∩B≠时，实数a的取值范围是其补集， ∴所求实数a的取值范围为{a|－eq \r(3)<a<eq \r(3)，或a>2}． [跟踪训练] 2．已知集合A＝{y|y>a2＋1，或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}．若A∩B≠，求实数a的取值范围． 数学·必修 第一册 返回导航 下页 上页 专题三　抽象集合与新定义集合的运算 [例3]　给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论： ①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合； ③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合． 其中正确结论的序号是________. 数学·必修 第一册 返回导航 下页 上页 [答案]　② [解析]　①中，－4＋(－2)＝－6A，所以①不正确； ②中，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z， 则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确； ③中，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝eq \r(2)k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋eq \r(2)k∉(A1∪A2)， 故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确． 数学·必修 第一册 返回导