考点05 二次函数与幂函数-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

考点05 二次函数与幂函数 【命题趋势】 本节在高考中很少单独命题，常与其他函数、不等式、方程等知识综合考查，是高考中的一个热点，主要考查二次函数的图像和性质，而对幂函数要求较低，常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，题型以选择题和填空题为主，难度中等偏下. 【重要考向】 本节通过二次函数和幂函数的图像和性质考查分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理、数学运算核心素养. 二次函数的概念 【典例】 1.函数f(x)＝x2－4x＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（ ） A．f（1），f（2） B．f（2），f（5） C．f（1），f（5） D．f（5），f（2） 【答案】D 【分析】 利用导数求函数的最值即可. 【详解】 f′(x)＝2x－4＝0，解得x＝2，当x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， ∴x＝2是极小值点，f（2）＝－3．又f（1）＝－2，f(5)＝6， ∴最大值是f(5)，最小值是f（2）． 故选：D 二次函数的图像与性质 【典例】 2.已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12． （1）求的解析式； （2）设函数在上的最小值为，求的解析式． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）根据二次函数的图像性质求出函数解析式；（2）结合二次函数的单调性，及对称轴和区间的位置关系，分类讨论求出最小值为 g(t)的解析式. 【详解】 （1）因为二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，所以可设， 又在区间上的最大值为12，所以，． ． （2），图象开口向上，对称轴为． ①当即时，在上是减函数，； ②当即时，； ③当时，在上是增函数，． 综上所述，. 【点睛】 本题主要考查二次函数解析式的求法，以及二次函数中涉及轴定区间动求最值的类型，属于简单题. 幂函数的图像与性质 【典例】 3. 设则“的图象经过”是“为奇函数”的（ ） A．充分不必要件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 在的前提条件下，由的图像经过，则的值为，反之当为奇函数时，则的值为，从而可得答案. 【详解】 由， 由的图像经过，则的值为，此时为奇函数. 又当为奇函数时，则的值为，此时的图象经过. 所以“的图象经过”是“为奇函数”的充要条件 故选：C 二次函数的最值 【典例】 4.已知函数在区间上有最大值3和最小值-1. （1）求实数m，n的值； （2）设，若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据二次函数的性质，结合给定区间知、，列方程组求m、n即可. （2）由（1）及题设条件知在上恒成立，即即可求k的范围. 【详解】 （1）∵的对称轴是，又， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，取最小值，当时，取最大值3， ∴，解得. （2）由（1）知：， ∴，即， ∴，令，则在上是增函数. ∴，要使在上恒成立，只需. 二次函数恒成立问题 不等式恒成立问题的解决方法： 1、 常用变量分离转为求函数的最值问题. 2、 如无法分离参数也可以分类讨论求函数最值. 【典例】 5. 二次函数在区间上是单调递减的，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【分析】 由题知区间为函数减区间的子集，分别讨论和时函数的单调性即可. 【详解】 二次函数，对称轴为二次函数. 当时，因为函数在区间上单调递减， 所以，解得. 当时，因为函数在区间上单调递减， 所以，解得. 综上所述的范围是. 1.已知幂函数在上为增函数，则m值为（ ） A. 4 B. 3 C. －1 D. －1或4 2.（1）已知f(x)是一次函数，且，求f(x)的解析式； （2）已知函数，求f(x)的解析式． 3.已知函数的图象关于直线对称且． （1）求a、b的值； （2）求函数f(x)在区间[－3,3]上的最小值和最大值． 4.已知函数. （1）若关于的不等式的解集为(－3,1)，求实数的值； （2）设，若不等式对都成立，求实数n的取值范围； （3）若且时，求函数f(x)的零点. 5.已知二次函数f(x)的图象经过三点. （1）求函数f(x)的解析式，并求f(x)的最小值； （2）是否存在常数m，使得当实数满足时，总有恒成立，若存在求m的值，不存在说明理由. 1．【2021年高考乙卷文科】设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 2．【2017年高考浙江】若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】