考点04 函数的基本性质-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

考点04 函数的基本性质 【命题趋势】 从近五年的情况来看，本节是高考的热点，常考查求函数的单调区间，判断函数的单调性，利用单调性比较大小、解不等式等，题型有选择题、填空题，也有解答题，多在第（1）问中考查，难度中等.理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择题、填空题为主，中等偏上难度. 【重要考向】 本节通过函数的单调性、奇偶性、周期性的应用考查数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想以及考生的逻辑推理和数学运算核心素养. 判断函数的单调性 1．判断函数单调性的方法： （1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小． （2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”． （3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性． （5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性. 2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间． 【典例】 1.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 对于A：利用函数奇偶性判断即可； 对于B：利用函数奇偶性判断即可； 对于C：先利用函数奇偶性判断偶函数，再判断单调性； 对于D：利用函数奇偶性判断即可. 【详解】 对于A：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A错误； 对于B：的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故B错误； 对于C：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为偶函数；当时，为增函数，故C正确； 对于D：的定义域为R，关于原点对称，但是，而，所以，所以为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 【点睛】 （1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或； （2）函数奇偶性的应用： ①一般用或； ②有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或 . 函数单调性的应用 函数单调性的应用主要有： （1）由的大小关系可以判断与的大小关系，也可以由与的大小关系判断出的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较. （2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值． （3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． （4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内． 【典例】 2.函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围 【详解】 解：函数的图像的对称轴为， 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：D 函数最值得求解 1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间上是增函数，则在上的最小值为，最大值为；若函数在闭区间上是减函数，则在上的最小值为，最大值为. 2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值. 3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值. 4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法. 【典例】 3.已知函数，则函数有（ ） A．最小值1，无最大值 B．最大值，无最小值 C．最小值，无最大值 D．无最大值，无最小值 【答案】C 【分析】 先用换元法将变形为二次函数的形式，然后根据对称轴求解出二次函数的最值，则的最值情况可知. 【详解】 因为，令，所以， 所以， 因为的对称轴为，所以在上递增， 所以，无最大值， 所以的最小值为，无最大值， 故选：C. 判断函数的奇偶性 判断函数奇偶性的常用方法及思路： （1）定义法： （2）图