考点03 函数及其表示-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

考点03 函数及其表示 【命题趋势】 从近五年的考查情况来看，本节是高考中的一个热点，常以基本初等函数为载体，与不等式结合考查函数的定义域、值域、解析式的求法，尤其对分段函数的求值、求参问题考查频率较高，常以选择题或填空题的形式出现，属于中、低档题. 【重要考向】 本节通过对函数的概念及其表示方法、分段函数的理解及应用考查数形结合思想、分类讨论思想的运用以及考生的数学抽象、数学运算、逻辑推理核心素养. 求函数的定义域 在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现，难度不大. 1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略 (1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数： ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点 (1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化． (2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集． (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接. 【典例】 1.函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数真数大于零和根式被开方数大于或等于零得不等式组，解不等式，取交集，得到函数的定义域. 【详解】由题知， 由，解得 由解得，， 当时，由，解得. 当时，区间和无交集； 当时，区间和无交集； 所以函数的定义域.故选：A. 2.若函数的定义域是则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的定义域为，，知，由此能求出函数的定义域即可． 【详解】解：函数的定义域为，， ， ．故选：B． 求函数的解析式 求函数解析式常用的方法 1．换元法： 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； 2．配凑法： 由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式； 3．待定系数法： 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； 4．方程组法： 已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x). 【典例】 3.已知一次函数满足，则＝________. 【答案】 【分析】 设，代入利用恒等式思想建立方程组，解之可得答案. 【详解】 设，则由， 得，即，故解得， 所以. 故答案为：. 分段函数 分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略： 1．求函数值： 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算． 2．求函数最值： 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小． 3．求参数： “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式． 4．解不等式： 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提． 5．求奇偶性、周期性： 利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解. 【典例】 4. 已知函数，若，则___________． 【答案】0或2 【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果. 【详解】 由题意可得或， ∴m＝0或m＝2, 故答案为：0或2. 【点睛】 本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题. 【名师点睛】分段函数的应用： 设分段函数. (1)已知x0，求f(x0)： ①判断x0的范围，即看x0∈I1，还是x0∈I2； ②代入相应解析式求解． (2)已知f(x0)＝a，求x0： ①当x0∈I1时，由f1(x0)＝a，求x0； ②验证x0是否属于I1，若是则留下，反之则舍去； ③当x0∈I2时，由f2(x0)＝a，求x0，判断是否属于I2，方法同上； ④写出结论． (3)解不等式f(x)＞a： 或. 【典例】 5. 若函数存在2个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分段函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，且有一个零点，在(-∞，1]上用数形结合法探讨有一个零点即可得解. 【详解】 因函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，且f(