考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（浙江专用）

考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件 【命题趋势】 从近五年的考查情况来看，高考对本节内容的考查涉及的知识点较广，全国卷主要以其他知识为背景考查命题的真假判断，充分条件、必要条件的判断，题目难度中等，以选择题和填空题为主，有时也以解答题的一问呈现. 【重要考向】 本节主要以函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率、统计、复数等为载体，结合命题、充分条件和必要条件考查考生的转化思想和逻辑推理核心素养. 四种命题的关系及其真假的判断 四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下： 1．判断四种命题间关系的方法 ①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题． ②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用. 2．命题真假的判断方法 ①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可． ②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假. 【典例】 1、下列命题中，真命题是（ ） A．命题“若sinx=siny，则x=y”的逆否命题是真命题 B．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0” C．“x>1”是“x2>1”的必要不充分条件 D．对任意x∈R，ex+e-x≥2 【答案】D 【分析】选项A：根据原命题与逆否命题同真同假来判断，只需判断原命题的真假即可； 选项B：全称命题的否定为特称命题； 选项C：由可以得到，但由不一定得到，从而可以判断命题的真假； 选项D：根据基本不等式来判断. 【详解】 选项A：因为命题“若sinx=siny，则x=y”是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，选项A错误； 选项B：命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“x∈R，x2<0”，所以选项B错误； 选项C：若，则成立；而若，则或，所以“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件，所以选项C错误； 选项D：因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以选项D正确. 故选：D. 充分、必要条件的判断 充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下： 1．命题判断法 设“若p，则q”为原命题，那么： (1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件； (2)原命题为假，逆命题为真时，则p是q的必要不充分条件； (3)当原命题与逆命题都为真时，则p是q的充要条件； (4)当原命题与逆命题都为假时，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．集合判断法（同必记结论） 3．等价转化法（同必记结论） 【典例】 2.已知数列是等比数列，则“，是方程的两根”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质进行判断即可. 【详解】 因为，是方程的两根， 所以，，得，所以， 而“”推不出“”， “”可推出“”， 即“”是“”的必要不充分条件. 所以“，是方程的两根”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3.设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则a⊥β的一个充分条件是（ ） A．α∩β=b，a⊂α，a⊥b B．b⊥α，ab，αβ C．a⊂α，b⊂β，a⊥b，α⊥β D．b⊂α，a⊥b，αβ 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，逐项分析可得. 【详解】对A，如图所示，记平面ABCD为平面，平面为平面，因为平面ABCD平面，所以直线BC即为直线b，记直线CD为直线a，则，但直线a与平面不垂直，故A错误； 对B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对C，如图所示，记平面ABCD为平面，平面为平面，此时，设直线AC为直线a，为直线b，此时，但a与不垂直，故C错误； 对D，记平面ABCD为平面，平面为平面，此时，设直线为直线a，为直线b，此时，但a与不垂直，故D错误. 故选：B. 充分、必要条件的应用 充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下： 1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解. 2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增