专题13 命题和充要条件-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题13 命题和充要条件 知识精讲 1.有关命题的概念 一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。 命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。 2.充要条件的判定 充分条件与必要条件： 一般地，用、分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。叫做的必要条件。例如是充分非必要条件，是的必要非充分条件。 充要条件： 如果既有，又有，即有，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。例如或是充分必要条件。 典例剖析 一、有关命题的概念 【例1】判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假；若不是，说明理由。 （1）12是4的倍数； （2）对角互补的四边形外接于一个圆； （3）我会说英语； （4）今天下雨吗 （5）是有理数，则都是有理数。 【难度】★ 【答案】（1）是命题，真命题，因为。 （2）是命题，真命题，定理。 （3）是命题，假命题，当时，为有理数，而不是有理数。 （4）不是命题，没有对一事物做出判断。 （5）不是命题，因为其不能做出真假判断。 【例2】判断下列命题的真假： （1）质数都是奇数； （2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角； （3）若，，则。 （4）若则。 【难度】★ 【答案】（1）假命题，例如2是质数但不是奇数。 （2） 真命题；（3）真命题； （4）假命题，例如，此时 说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。 若判断为真命题，则需证明。 对点精练 1、判断下列命题的真假： （1）所有能被6整除的整数都是3的倍数； （2）关于的方程有且只有一个实数根。 【难度】★ 【答案】（1）真命题。（2）假命题，当时，方程无实数根。 说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。 若判断为真命题，则需证明。 2、判断命题“若或，则”的真假。 【难度】★ 【答案】假命题，例如此时。 说明：根据其逆否命题的真假来进行判断原命题的真假，因为它们是等价的。 典例剖析 二、充要条件的判定 【例3】证明：是关于的一元二次方程有两个不同的实数根的充分非必要条件。 【难度】★★ 【答案】充分性：若，则方程的，方程有两个不同的实数根。 非必要性：当方程有两个不同的实数根，则，而不仅仅是。 说明：证明非必要性，只需证明不成立即可。 【例4】指出下列各组命题中，是的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答） （1）对于实数，，或 （2）已知，， 【难度】★★ 【答案】（1）是的充分不必要条件．（2）是的充分非必要条件． 对点精练 1、已知，“”是“”的什么条件？ 【难度】★★ 【答案】必要非充分条件。 说明：写成命题形式，判断原命题及其逆命题的真假即可。 2、已知都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，那么分别是的什么条件？ 【难度】★ 【答案】是的充要条件；(r，) 是的充要条件；(，) 是的必要条件；() 典例剖析 三、充分条件、必要条件、充要条件的应用 【例5】判断是的什么条件 （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【难度】★ 【答案】（1）是的必要非充分条件； （2）是的充要条件； （3）是的非充分非必要条件； （4）是的充要条件； 【例6】求有关的方程（1）有一个根大于1，有一个根小于1的充要条件.（2）“有两个小于3的根”的充要条件。 【难度】★★ 【答案】（1）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于： 。 （2）设方程两个根分别为，不妨设，则问题等价于： 【例7】已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件 【难度】★★ 【答案】（1）（充分性)由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4 设f(x)=x2+ax+b，则f(x)的图象是开口向上的抛物线 又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0 即有4+b>2a>－(4+b) 又|b|＜44+b>02|a|＜4+b (2)必要性由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线 ∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根 ∵α，β是方程f(x)=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2 对点精练 1、已知是实数，则的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【难度】★ 【答案】C. 2、已知命题；命题。若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________________。 【难度】★★ 【