高效作业(十六) 空间向量的应用-【我的暑假我快乐】2021版高二老教材理科数学假期高效作业

８．已知不同直线m,n与不同平面α,β,给出下列三个命题: ①若m∥α,n∥α,则m∥n; ②若m∥α,n⊥α,则n⊥m; ③若m⊥α,m∥β,则α⊥β． 其中真命题的个数是　　　　个． ９．设P 是６０°的二面角α　Ｇ　l　Ｇ　β内一点,PA⊥α,PB⊥β,A,B 分别为垂足,PA＝２,PB＝４,则AB的长是　　　　． 三、解答题 １０．如图,在正方体ABCD　Ｇ　A１B１C１D１ 中,O 为底面ABCD 的中心,P 是 DD１ 的中点,设点 Q 是CC１ 上的 点,问:当点Q 在什么位置时,平面 D１BQ∥平面PAO? １１．如图,AB为圆O 的直径,点E,F 在圆O 上,AB∥EF,矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直．已 知AB＝２,EF＝１． (１)求证:平面DAF⊥平面CBF． (２)求直线AB 与平面CBF 所成 角的大小． (３)当AD 的长为何值时,二面角 D　Ｇ　FE　Ｇ　B的大小为６０°． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高效作业(十六)　空间向量的应用 １．直线的方向向量与平面的法向量 (１)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所 在直线与直线l　　　　或　　　　,则称此向量a为直 线l的方向向量． (２)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的　　　　向量a, 则向量a叫做平面α的法向量． ２．空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l１,l２ 的方向 向量分别为n１,n２ l１∥l２ n１∥n２⇔　　　　 l１⊥l２ n１⊥n２⇔　　　　 直线l的方向向量 为n,平面α 的法 向量为m l∥α n⊥m⇔　　　　 l⊥α n∥m⇔　　　　 平面α,β的法向量 分别为n,m α∥β n∥m⇔　　　　 α⊥β n⊥m⇔　　　　 ３．异面直线所成角的求法 设a,b分别是两异面直线l１,l２ 的方向向量,则 a与b的夹角β l１ 与l２ 所成的角θ 范围 [０,π] 　　　　 求法 cosβ＝ a􀅰b |a||b| cosθ＝|cosβ|＝　　　　 ４．直线和平面所成角的求法 如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n, 直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n 的夹角为θ, 则有sinφ＝|cosθ|＝　　　　． ５．二面角的求法 a．如图①,AB,CD 是二面角α　Ｇ　l　Ｇ　β两个半平面内与棱l垂 直的直线,则二面角的大小θ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰 b．如图②③,n１,n２ 分别是二面角α　Ｇ　l　Ｇ　β的两个半平面α,β 的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ＝　　　　或　　 　　． ６．点面距离的求法 已知AB 为平面α的一条斜线段, n为平面α的法向量,则B 到平面 α 的 距 离 为|BO→|＝|AB→|􀅰 |cos‹AB→,n›|＝　　　　． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题 １．在平行六面体 ABCD　Ｇ　A１B１C１D１ 中,化简AB →＋CC１→－ DB→为 (　　) A．AC１ → B．CA１→ C．AD１→ D．D１A→ ２．已知正方体ABCD　Ｇ　A１B１C１D１,则异面直线BD１ 与AC 所成的角为 (　　) A．３０° B．４５° C．６０° D．９０° ３．若向量a＝(１,λ,２),b＝(２,－１,２),且a与b 的夹角余弦 值为８ ９ ,则λ等于 (　　) A．２ B．－２ C．－２或２５５ D．２ 或－２５５ ４．已知正四棱锥SＧABCD 的侧棱长 与底面边长都相等,E 是SB 的中 点,则 AE、SD 所 成 的 角 的 余 弦 值为 (　　) A．１３ B． ２ ３ C．３３ D． ２ ３ ５．若向量b与向量a＝(１,－２,１)共线,且a􀅰b＝－１２,则向 量b＝ (　　) A．(２,４,－２) B．(－３,６,３) C．(－１,２,－１) D．(－２,４,－２) ６．在长方体ABCD　Ｇ　A１B１C１D１ 中,AB＝１,AD＝AA１＝２,E 为BC 的中点,则点A１ 到平面DEC１ 的距离为 (　　) A．２ B．１ C．２３ D． ４ ３ 二、填空题 ７．若a＝(２,－３,５),b＝ (－３,１,－４),则|a