第二章 第十二讲 第三课时 导数与函数的零点或方程的根、不等式-2022新高考数学【衡中学案】1轮总复习（通用版·老教材）

(i)若0≤m≤1时,则f(ha)≥0, 通过对第(1)问的研究,求得f(x) 又f(0)=0f(8)8 所以曲线y=f(x)的 给什么=e2-2x+2a的单调性与极值,仔 f(x)在(一,+2)至多存在1个零点,不合用什么细观察,可发现(e-2+2ax-1)|斜率为1的切线方程是y=x与、8=x 8 由于f(-2)=e-2>0 找什么-1的单调性或最值,利用导数研 ②令g(x)=f(x)-x,x∈[-2,4]. 所以f(x)在(-∞,lna)存在唯一零点 由(1)知,当x>2时,e (x∈R),知 x2得g'(x) 所以当x>4且x>2ln(2a)时 当x<hm2时,f(x)<0,故函数fx)在区间令g'(x)=0得x=0或x=8 f'(x)=e2-2.令f"(x)=0,得x=ln2. (-∞,ln2)上单调递减 (x),g(x)的情况如下 2+2)-a(x+2)=2a>0, 当x>hn2时,f"(x)>0,故函数f(x)在区间 故f(x)在(lna,+∞)存在零一零点,从而f(x) ln2,+∞)上单调递增 在(-∞,+∞)有两个零点 所以f(x)的单调递减区间是(-∞,h2),单调|e(x) 综上,a的取值范围是 递增区间是(m2,+)f(x)在x=m2处取|g(x)-6,0 得极小值f(ln2)=e2-2ln2+2a=2-2ln2 [变式训练1] +2a,无极大值 所以g(x)的最小值为-6,最大值为0 [解析]解法一:f(x)=kx-hnx-1、f(x)=(2)证明:要证当a>ln2-1且x>0时,e2>x 故-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x (2)函数f(x)的定义域是(0,+∞),不等式 (x>0,k>0), 2ax+1,即证当a>hn2-1且x>0时,e2 1+lnx≤0有解,即a≤x-xhnx在(0 当x=1时,(x)=0;当0<x<1时,厂(x)设(x)=“-x2+2ax-1(x20) 则g'(x)=e2-2x+2a,由(1)知g'(x)min= x)上有解,令h(x)=x-xhnx,可得h(x)= g'(l2)=2ln2+2a+2 (lmx+1)=-lnx,令h'(x)=0,可得x=1, 又a>ln2-1,则g'(x)m>0. 当0<x<1时,h'(x)>0,当x>1时,h(x)< 于是对Ⅴx∈R,都有g'(x)>0 0,可得当x=1时,函数h(x)=x-xlnx取得最 f(x)在(0,)上单调递减,在所以g(x)在R上单调递增 大值1,要使不等式a≤x-xlnx在(0,+∞)上 于是对x>0,都有g(x)>g(0)=0 有解,只要a小于等于h(x)的最大值即可,即a k,+)上单调递增 即e-x2+2ax-1>0,故e>x2-2ax+1 ≤1.所以选C. 例3.[解析]对一切x∈(0,+∞)f(x)≥g(x)(3)令g(x) 恒成立 f(x)有且只有一个零点, 即xnx-ax≥-x2-2恒成立 f(x)-f(x)+1 lnh=0,;,k=1 解法二:由题意知方程kx-lnx-1=0仅有 也就是n≤hx+x+2在x∈(0,+x)上恒成:(x)>f(x)+1,g(x)<0,…g(x)递减, 个实根 f(x)+e<1x)-1<-1=/0)-1 由 0得k 令f(x)=lnx+x+ g(x)<g(0)台>x>0.故选A 名师讲坛·素养提升 [变式训练3] 当x=1时,g'(x)=0;当0<x<1时,g(x)当x∈(0,1)时、(x)<0,当x∈(1,+∞)时,[答案](1)a=1(2)略 当x>1时,g'(x)<0 所以f(x)在x=1处取极小值,也是最小值 [解析](1)因为f(x) g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单即f(x)min=F(1)=3,所以a≤3 又因为x=0为f(x)的极值点 调递减 综上所述,a的取值范围是(-∞,3] 所以f(O)=1 1=0,所以a=1 解 当 (2)证明:由(1)知f(x) 要使f(x)仅有一个零点,则k=1 g'(x)=-f(x)+f"(x)·hnx<0,所以g(x) 函数定义域为(-1,+∞) 解法三:函数f(x)有且只有一个零点,即直线y在(0,+∞)上为减函数,且g(1)=0,则在区 kx与曲线y=ln 相切,设切点为(x 所以(x)<0;在区间(1,+∞)上,g(x)=/(x)令”(x)=0得x=0 由y=lnx+1得y'= lnx<0,又hnx>0,所以f(x)<0.所以当xe当x变化时、f(x),f"(x)变化情况如下表. (0,1)∪(1,+∞)时,f(x)<0,由f(x)为奇函 (0,+∞ 数知,在区间(-1,0)和(-∞,-1)上,都有 f(x)>0.在题设不等式中令x=1,知f(1)<0 f(x)+ 则以f(-1)>0