第二章 第十二讲 第二课时 导数与函数的极值、最值-2022新高考数学【衡中学案】1轮总复习（通用版·老教材）

- 9,所以 b + c = - 12. 11. ( 0, 1 ) 和 ( 1, e) 　 f ′(x) = ln x - 1 ln2 x < 0 得 ln x - 1 < 0 ln x≠0{ ,解得 0 < x < 1 或 1 < x < e. ∴ f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1,e) . 12. (1) 3, 92( )　 (2)( - ∞ ,3]∪ 9 2 , + ∞[ ) [解析] 　 (1)由 f(x) = x3 - ax2,得 f ′(x) = 3x2 - 2ax = 3x x - 2a3( ). 若f(x)在(2,3)上不 单调,则有 2a 3 ≠0, 2 < 2a3 < 3, { 可得3 < a < 92 . 取补 集可得(2)结果. 13. [解析] 　 (1) 由 f(x) = x3 + ax2 - x + c,得 f ′(x) = 3x2 + 2ax - 1. 当 x = 23 时,得 a = f ′ 23( )= 3 × 2 3( ) 2 + 2a × 23 - 1,解得 a = - 1. (2)由(1)可知f(x) = x3 - x2 - x + c,则f ′(x) = 3x2 - 2x - 1 = 3 x + 13( )(x - 1), 令f ′(x) > 0,解得 x > 1 或 x < - 13 ; 令f ′(x) < 0,解得 - 13 < x < 1. 所以f(x)的单调递增区间是 - ∞ , - 13( )和 (1, + ∞ ); f(x)的单调递减区间是 - 13 ,1( ). 14. [解析] 　 (1) h( x) = ln x - 12 ax 2 - 2x,x∈ (0, + ∞ ),则h′(x) = 1x - ax - 2. 由 h(x)在(0, + ∞ )上存在单调递减区间,知 当 x∈(0, + ∞ )时, 1x - ax - 2 < 0 有解,即 a > 1 x2 - 2x 有解. 设 G(x) = 1 x2 - 2x ,则只要 a > G(x)min即可, 而 G( x) = 1x - 1( ) 2 - 1,所以 G( x)min = - 1,所以 a > - 1. (2)由 h( x)在[1,4]上单调递减,得当 x∈ [1,4]时, h′(x) = 1x - ax - 2≤0 恒成立,即 a≥ 1 x2 - 2 x 恒成立, 设 G(x) = 1 x2 - 2x ,则 a≥G( x)max,而 G( x) = 1x - 1( ) 2 - 1,又 x∈ [1,4 ],所以 1x ∈ 1 4 ,1[ ],所以 G( x)max = - 7 16 (此时x = 4), 所以 a≥ - 716 . B 组能力提升 1. A　 由f ′(x) = 1x - a > 0,x > 0,得 0 < x < 1 a . ∴ f(x)的单调递增区间为 0, 1a( ). 2. D 　 f ′(x) = 110 (3x 2 + 2bx + c),由图可知 f ′( - 2) = f ′(3) = 0,所以 - 2b3 = - 2 + 3, c 3 = - 2 × 3, { 解 得 b = - 32 , c = - 18. { 令 g ( x) = x2 + 23 bx + c3 ,则 g(x) = x2 - x - 6,g′( x) = 2x - 1. 由 g( x) > 0, 解得 x < - 2 或 x > 3. 当 g′( x) < 0 时,x < 12 , 所以 g(x)的单调递减区间为( - ∞ , - 2) . 所 以函数 y = log2 x2 + 2 3 bx + c 3( )的单调递减 区间为( - ∞ , - 2) . 故选 D. 3. C　 由题意得,x < 0 时, f(x) 是增函数, x > 0 时,f(x)是减函数,∴ x = 0 是函数 f(x)的极大 值点,也是最大值点,∴ f( - 1) < f(0),f(2) < f(0),两式相加得, f( - 1) + f(2) < 2f(0),故 选 C. 4. BC 　 对 于 A, 函 数 y = f(x) 在 区 间 - 3, - 12( )内有增有减,故 A 不正确;对于 B,当 x = - 2 时,函数 y = f(x)取得极小值,故 B 正确;对于 C,当 x∈( - 2,2)时,恒有f ′(x) >0,则函数 y = f(x)在区间( - 2,2)上单调递 增,故 C 正确;对于 D,当 x = 3 时,f ′(x)≠0, 故 D 不正确. 5. [解析] 　 (1 ) a = 0 时, f(x) = xex, f ′(x) = (x + 1)ex, 所以切线的斜率是 k = f ′(1