第二章 第七讲 对数与对数函数-2022新高考数学【衡中学案】1轮总复习（通用版·老教材）

a - 1 + 2 = 5,且 a > 0,所以 a 1 2 + a - 1 2 = 5 ,故 C 错误;在选项 D 中,因为 a3 + a - 3 = 18,且 a > 0,所以 a a + 1 a a( ) 2 = a3 + a - 3 + 2 = 20,所 以 a a + 1 a a = 2 5 ,故 D 正确. 8. AC　 函数f(x)的定义域为 R,关于原点对称, f( - x) = 1 e - x + 1 - 12 = ex ex + 1 - 12 ,则 f( - x) + f(x) = 0,所以 f(x) 是奇函数,函数 f(x) = 1 ex + 1 - 12 显然是减函数. 故选A、C. 9. ( - ∞ , - 1] 　 若使函数 f(x) = 12( ) x - 2 的有意义,自变量 x 须满足: 12( ) x - 2≥0, 解得:x∈( - ∞ , - 1], 故函 数 f(x) = 12( ) x - 2 的 定 义 域 为: ( - ∞ , - 1] . 10. 12 　 因为 0 < a < 1,所以函数 f( x) = a x 在 [1,2]内是减函数, 因为函数 f( x) = ax (0 < a < 1)在[1,2]内的 最大值比最小值大 a 2 ,所以 f(1) - f(2) = a - a2 = a2 , 解得 a = 12 ,或 a = 0(舍) . 11. a > 2 或 a < - 2 　 由 y = ( a2 - 1 ) x 在 ( - ∞ , + ∞ )上为增函数,得 a2 - 1 > 1,解得 a > 2或 a < - 2 . 12. (1, + ∞ )　 f( - 4) > f(1) 因为 | x + 1 |≥0,函数f(x) = a | x + 1 | (a > 0,且 a ≠1)的值域为[1, + ∞ ),所以 a > 1. 由于函 数f(x) = a | x + 1 | 在( - 1, + ∞ )上是增函数,且 它的图象关于直线 x = - 1 对称,则函数f(x) 在( - ∞ , - 1)上是减函数,故 f(1) = f( - 3), f( - 4) > f(1) . 13. [解析] 　 (1)令 t = | x | - a,则f(x) = 23( ) t , 不论 a 取何值,t 在( - ∞ ,0]上单调递减,在 [0, + ∞ )上单调递增,又 y = 23( ) t 是单调 递减的, 因此f(x)的单调递增区间是( - ∞ ,0],单调 递减区间是[0, + ∞ ) . (2)由于f(x)的最大值是 94 , 且 9 4 = 2 3( ) - 2 , 所以 g(x) = | x | - a 应该有最小值 - 2, 即 g(0) = - 2,从而 a = 2. 14. [解析] 　 (1)由已知得 k·a0 = 1, k·a - 3 = 8{ 解得 k = 1 a = 12 { . (2)g(x) = 2 x - 1 2x + 1 ,因此 g ( - x ) = 2 - x - 1 2 - x + 1 = [2 - x - 1]2x [2 - x + 1]2x = 1 - 2 x 1 + 2x = - g(x), 所以 g(x) = 2 x - 1 2x + 1 为奇函数. B 组能力提升 1. C　 指数函数 y = ax(0 < a < 1)为减函数,因为 a < b 所以 aa > ab,A 错误;指数函数 y = bx(0 < b < 1)为减函数,因为 a < b,所以 ba > bb,B 错 误;幂函数 y = xa (0 < a < 1)在(0, + ∞ )上为 增函数,又 a < b,所以 aa < ba,C 正确;由幂函 数 y = xb(0 < b < 1)在(0, + ∞ )上为增函数,又 a < b,所以 bb > ab,D 错误. 2. A　 不等式可化为 12( ) x - 12( ) - x > 12( ) y - 12( ) - y ,又 f(x) = 12( ) x - 12( ) - x 在 R 上单调递减,故必有x < y. 故选 A. 3. D　 方程 | ax - 1 | = 2a(a > 0 且 a≠1)有两个不 相等的实数根可转化为函数 y = | ax - 1 |与 y = 2a 的图象有两个交点. ①当 0 < a < 1 时,如图 1,∴ 0 < 2a < 1 时,即 0 < a < 12 . ②当 a > 1 时,如图 2,而 y = 2a > 1 不符合 要求. 综上,0 < a < 12 . 故选 D. 4. C　 ∵ f(x)为奇函数,∴ f( - x) = - f(x),即 2 - x