第二章 第六讲 指数与指数函数-2022新高考数学【衡中学案】1轮总复习（通用版·老教材）

名师讲坛·素养提升 [变式训练 3] 　 [答案] 　 0, 12( ] [解析] 　 当 x0∈[ - 1,2]时,由f(x) = x2 - 2x, 得 f(x0)∈[ - 1,3] . 因为对任意的 x1∈[ - 1,2]都存在 x0∈[ - 1, 2], 使得 g(x1) = f(x0), 所以 g(x1)min≥f(x0)min, g(x1)max≤f(x0)max, { 即当 x1∈[ - 1,2]时,g(x1)∈[ - 1,3] . 所以当 a > 0 时, - a + 2≥ -1, 2a + 2≤3,{ 解得 a≤ 12 ,故实数 a 的取值范围是 0, 1 2( ]. [练案 8] A 组基础巩固 1. D　 设幂函数f(x) = xa,则 f(3) = 3a = 3 ,解得 a = 12 , 则f(x) = x 1 2 = x,是非奇非偶函数,且在区间 (0, + ∞ )内是增函数. 2. D　 取 x = 12 ,由图易知 1 2 < 1 2( ) m < 1 < 1 2( ) n < 12( ) - 1 ,∴ - 1 < n < 0 < m < 1. 故 选 D. 3. A　 由于函数f(x)是幂函数,所以 m2 - m - 1 = 1,解得 m = 2 或 m = - 1. 当 m = 2 时,f(x) = x2 在(0, + ∞ )上单调递增,舍去;当 m = - 1 时, f(x) = x - 1在(0, + ∞ )上单调递减. 故选 A. 4. B　 函数 y = x2 - x + 1 图象的对称轴为直线 x = 12 ,则 y = x 2 - x + 1 在 - 1, 12( )上单调递 减,在 12 ,1( )上单调递增,∴ ymax = ( - 1) 2 - ( - 1) + 1 = 3,ymin = 1 2( ) 2 - 12 + 1 = 3 4 , ∴ ymax + ymin = 3 + 3 4 = 3. 75,故选 B. 5. D　 若 a = 0,则f(x) = x - 3,f(x)在区间[ - 1, +∞)上单调递增,符合题意,若 a≠0,因为f(x)在 区间[ -1, +∞)上单调递增,故 a >0, a -1 2a ≤-1, { 解 得0 < a≤ 13 .综上,0≤a≤ 1 3 .故选 D. 6. C　 由f(x) = x2 + ax + b 可得函数 f(x)图象的 对称轴为直线 x = - a2 . 又由 a≠ b, f( a) = f(b)得f(x)图象的对称轴为直线 x = a + b2 ,所 以 - a2 = a + b 2 ,得 2a + b = 0,所以 f(2) = 4 + 2a + b = 4,故选 C. 7. C　 设 g ( x) = x2 + ax + 1, x∈ 0, 12( ],则 g(x)≥0在 x ∈ 0, 12( ]上 恒 成 立, 即 a ≥ - x + 1x( )在 x∈ 0, 1 2( ]上恒成立. 又 h( x) = - x + 1x( )在 x∈ 0, 1 2( ]上为单调递增函 数,当 x = 12 时,h( x)max = h 1 2( ),所以 a≥ - 12 + 2( )即可,解得 a≥ - 5 2 . 8. AB　 由幂函数定义知 m2 - 3m + 3 = 1,得 m = 1 或m = 2,经检验 m = 1 和 m = 2 均满足图象不 过原点. 故选 A、B. 9. BCD　 根据常见幂函数的图象判断或取特殊 值,逐个验证知 B、C、D 正确. 10. ABD　 由已知得 a + b + c = 0, - b2a = 2, { 解得 b = - 4a, c = 3a,所以二次函数为 y = a( x2 - 4x + 3),其 顶点的横坐标为 2,所以顶点一定不是( - 2, - 2),故选 A、B、D. 11. 1　 ∵ 函数在(0, + ∞ )上单调递减, ∴ m2 - 2m - 3 < 0,解得 - 1 < m < 3. ∵ m∈Z,∴ m = 0,1,2. 而当 m = 0 或 2 时,f(x) = x - 3为奇函数,当 m = 1 时,f(x) = x - 4为偶函数. ∴ m = 1. 12. - 2 　 由对称性知 f( x1 + x2 ) = f - b a( ) = a × b 2 a2 + b × - ba( )- 2 = - 2. 13. (3,5) 　 ∵ f(x) = x - 1 2 = 1 x (x > 0), ∴ f(x)是定义在区间(0, + ∞ )内的减函数. 又 f(a + 1) < f(10 - 2a), ∴ a + 1 > 0, 10 - 2a > 0, a + 1 > 1