第二章 第九讲 函数与方程-2022新高考数学【衡中学案】1轮总复习（通用版·老教材）

由图可知,当 m = - 1 时,直线 y = x 与函数图 象恰好有 3 个公共点,当 m = 2 时,直线 y = x 与函数图象只有 2 个公共点,故 m 的取值范 围是[ - 1,2) . B 组能力提升 1. ACD　 由题意知,f(x)必须满足两个条件: ①f(1) = 0,②f(1 + x) = - f(1 - x) . 对于选项 A,C,D,f(1)均不为 0,不满足条件; 对于选项 B, f (1 ) = e0 - e0 = 0, f ( 1 + x) = ex - e - x, f(1 - x) = e - x - ex = - f(1 + x) . 2. A　 函数①y = x·sinx 为偶函数,图象关于 y 轴 对称,对应的是第一个函数图象,从而排除选 项 C,D;对于函数④y = x·2x,因为 y′ = 2x(1 + xln 2),当 x > 0 时,y′ > 0,函数单调递增,所以 函数④y = x·2x 对应的是第二个函数图象;又 当 x > 0 时,函数③y = x·| cos x |≥0,对应的是 第四个函数图象,从而排除选项 B,选 A. 3. A 　 解 法 一: 因 为 y = f ( 2x + 1 ) = f 2 x + 12( )[ ],所以将函数 y = f(x)图象的纵 坐标不变,横坐标缩短为原来的 12 ,可以得到 函数 y = f(2x)的图象,将函数 y = f(2x)的图 象向左平移 1 2 个单位,可以得到 y = f(2x + 1) = f 2 x + 12( )[ ]的图象,因为函数 y = f(2x + 1)是偶函数,所以函数 y = f(2x + 1)的图象的 对称轴方程为 x = 0. 所以函数 y = f(2x)的图 象的对称轴方程为 x = 12 ,函数 y = f(x)的图 象的对称轴方程为 x = 1. 故选 A. 解法二:设 f(2x + 1) = x2,则 f(x) = 14 ( x - 1) 2,故选 A. 4. C　 由图象可知不等式 - 2 < f( x + t) < 4 即为 f(3) < f(x + t) < f(0),故 x + t∈(0,3),即不等 式的解集为( - t,3 - t),依题意可得 t = 1. 5. B　 y = f(x)与 y = e | x - 1 | 的图象均关于直线 x = 1 对称,由对称性,可知 x1 + x2 + … + xn = 2 022,故选 B. 第九讲　 函数与方程 知识梳理 知识点一 f(x) = 0　 x 轴　 零点　 f(a) f(b) < 0　 f(c) = 0 知识点二 f(a) f(b) < 0　 一分为二　 零点 双基自测 1. (1) × 　 (2)√　 (3) × 　 (4) × 　 (5) × [解析] 　 (1)函数的零点是函数图象与 x 轴交 点的横坐标. (2)当 b2 - 4ac < 0 时,抛物线与 x 轴无交点,故 没有零点. (3)函数图象若没有穿过 x 轴,则 f(a)·f(b) >0. (4)若在区间[a,b]内有多个零点,f(a)·f(b) > 0 也可以. (5)y = x2 与 y = 2x 在 y 轴左侧一个交点,y 轴 右侧两个交点,如在 x = 2 和 x = 4 处都有交点. 2. B　 由所给的函数值的表格可以看出,x = 2 与 x = 3 这两个数字对应的函数值的符号不同,即 f(2)·f(3) < 0,所以函数在(2,3)内有零点, 故选 B. 3. C　 A,B 图中零点两侧不异号,D 图不连续. 故 选 C. 4. C　 通过上述表格得知函数唯一的零点 x0 在 区间(1. 375,1. 437 5)内,故选 C. 5. A　 y = cos x 是偶函数且有无数多个零点,y = sin x 为奇函数,y = ln x 既不是奇函数也不是偶 函数,y = x2 + 1 是偶函数但没有零点,故选 A. 6. B　 f(x) = 2sin x - 2sin xcos x = 2sin x (1 - cos x),令f(x) = 0,则 sin x = 0 或 cos x = 1,所 以 x = kπ(k∈Z),又 x∈[0,2π],所以 x = 0 或 x = π 或 x = 2π. 故选 B. 考点突破·互动探究 例1. [解析] 　 (1)因为 f(1)·f(2)·f(4) < 0, 所以 f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于 0. 若 f(1) < 0,则在(0,1)内有零点,在(0,4)内 必有零点; 若 f(2) < 0,则在(0,2)内有零点,在(0,4)内 必有零点; 若 f(4) < 0,则在(0,4)