第三章 第一讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数-2022新高考数学【衡中学案】1轮总复习（通用版·老教材）

∴ 当 x > 0 时,g(x)max = g(2) = 4 e2 - 34 . 由题及 (1) 知 f(x)min = - 1 2e ,∵ 4 e2 - 34 - - 12e( )= (8 - 3e)(2 + e) 4e2 < 0, ∴ f(x)min > g(x)max,即f(x) > g(x) . 5. [证明] 　 (1)由题易得函数f(x) = ln x - a2 x2 + ax 的定义域为(0, + ∞ ), ∴ f ′(x) = 1x - 2a 2 x + a = - 2a 2 x2 + ax + 1 x = - (2ax + 1)(ax - 1) x . 　 ∵ a≥1,x > 1,∴ 2ax + 1 > 0,ax - 1 > 0, ∴ f ′(x) < 0, ∴ 函数f(x)在区间(1, + ∞ )上是减函数. (2)当 a = 1 时,f(x) = ln x - x2 + x,其定义域 是(0, + ∞ ), ∴ f ′(x) = 1x - 2x + 1 = - 2x2 - x - 1 x . 令f ′(x) = 0,即2x 2 - x - 1 x = 0,解得 x = - 1 2 或 x = 1. ∵ x > 0,∴ x = - 12 舍去. 当 0 < x < 1 时, f ′(x) > 0;当 x > 1 时, f ′(x) < 0. ∴ 函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间 (1, + ∞ )上单调递减. ∴ 当 x = 1 时,函数 f(x) 取得最大值,其值为 f(1) = ln 1 - 12 + 1 = 0. ∴ 当 x≠1 时,f(x) < f(1),即f(x) < 0,∴ 函数 f(x)只有一个零点. 6. [解析] 　 本题考查导数的几何意义和利用导 函数讨论函数单调性、零点等问题. (1)解:∵ f ′(x) = 3 - x 2 (1 - x) 2 ex,∴ f ′(0) = 3. 又 ∵ f(0) = 1, ∴ 曲线 y = f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y - 1 = 3x,即 3x - y + 1 = 0. (2)证明:由f(x) + g( x) = 0 存在两个正实数 根,整理得方程 ex = a(x - 1) (x≠1)存在两个 正实数根. 记这两个正实数根为 x1,x2 ( x1 < x2) . 由 a > 0,知 x2 > x1 > 1,令 h(x) = ex - ax + a,则 h(x)在(1, + ∞ )上有两个零点,令 h′( x) = ex - a = 0,则 x = ln a. 当 1≥ln a,即 0 < a≤e 时,可知 h( x)在(1, + ∞ )上单调递增,所以在(1, + ∞ )上不可能 有两个零点,不符合题意. 当 1 < ln a,即 a > e 时,可知 h(x)在(1,ln a)上 单调递减,在( ln a, + ∞ )上单调递增, ∴ h(x)min = h( ln a) = 2a - aln a. ∵ h(x) = ex - ax + a 有两个零点且 h(1) = e >0,∴ 2a - aln a <0,∴ 2 - ln a < 0. 解得 a > e2 . 7. [解析] 　 本题考查利用导数研究函数的单调 性及函数的零点个数问题. (1)f ′(x) = 3x2 - k. 当 k = 0 时,f(x) = x3,故 f(x)在( - ∞ , + ∞ ) 单调递增; 当 k < 0 时, f ′(x) = 3x2 - k > 0,故 f(x) 在 ( - ∞ , + ∞ )单调递增. 当 k > 0 时,令f ′(x) = 0,得 x = ± 3k3 . 当 x∈ - ∞ , - 3k3( )时, f ′(x) > 0; 当 x ∈ - 3k3 , 3k 3( )时, f ′(x) < 0; 当 x ∈ 3k 3 , + ∞( )时, f ′(x) > 0. 故 f(x) 在 - ∞ , - 3k3( ), 3k 3 , + ∞( )单 调 递 增, 在 - 3k3 , 3k 3( )单调递减. (2)由(1)知,当 k≤0 时,f(x)在( - ∞ , + ∞ ) 单调递增,f(x)不可能有三个零点. 当 k > 0 时,x = - 3k3 为f(x)的极大值点,x = 3k 3 为 f(x) 的 极 小 值 点. 此 时, - k - 1 < - 3k3 < 3k 3 < k + 1 且 f( - k - 1) < 0,f( k + 1) > 0,f - 3k3( ) > 0. 根据 f(x)的单调性,当 且仅当 f 3k 3( ) < 0,即 k 2 - 2k 3k9 < 0 时, f(x)有三个