第二章 高考大题规范解答系列(—)——函数与导数-2022新高考数学【衡中学案】1轮总复习（通用版·老教材）

高考大题规范解答系列(一) ———函数与导数 [变式训练 1] 　 [解析] 　 本题考查利用导数研究函数的单调 性、极值和最值. (1)f(x)定义域为(0, + ∞ ),f ′(x) = 1x - 1 - a x2 = - x 2 + x - a x2 . 因为f(x)有两个不同的极值点 x1,x2,且 x > 0, 所以 x2 - x + a = 0 有两个不同的正根,所以 Δ = 1 - 4a > 0, x1 + x2 = 1 > 0, x1 x2 = a > 0, { 解得 0 < a < 14 . 故实数 a 的 取值范围为 0, 14( ). (2)由(1)知 x1 x2 = a,x1 + x2 = 1,不妨设 x1 < x2,所以f(x)极小值 = f(x1),f(x)极大值 = f(x2), 所以f(x)极小值 + f(x)极大值 = f( x1 ) + f( x2 ) = ln(x1 x2) + 2(1 - 2a) + a(x1 + x2) x1 x2 - ( x1 + x2 ) = ln a + 2 - 4a. 令 φ(a) = ln a - 4a + 2,则 φ′(a) = 1a - 4, 当 0 < a < 14 时,φ′(a) > 0, 所以 φ(a)在 0, 14( )上单调递增,所以 φ(a) < φ 14( )= - 2ln 2 + 1. 又当 a→0 时,φ(a)→ - ∞ ,所以f(x)的极大值 与极小值之和的取值范围是( - ∞ , - 2ln 2 + 1) . [变式训练 2] 　 [解析] 　 (1)f ′(x) = 2ax - ln x - 1 - 1x , 由题意可得 f ′(1) = 2a - 2 = 0, ∴ a = 1. (2)要证f(x) > 12 x(0 < x≤2), 只需证 x - ln xx - ln x > 1 2 , 即证 x - ln x > ln xx + 1 2 , 令 g(x) = x - ln x,h(x) = ln xx + 1 2 , 由 g′(x) = 1 - 1x = 0,解得 x = 1, g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2]上单调 递增, 故 g(x)min = g(1) = 1, 由 h′(x) = 1 - ln x x2 可知 h(x)在(0,2]上单调递 增, 故 h(x)max = h(2) = 1 + ln 2 2 < 1 = g(x)min, 故 h(x) < g(x),即f(x) > 12 x. [变式训练 3] 　 [解析] 　 本题考查导数的几何意义及利用导 数研究函数的单调性、极值、零点. (1)f ′(x) = 3x2 + b. 依题意得 f ′ 12( ) = 0,即 3 4 + b = 0,故 b = - 34 . (2)证明:由(1)知f(x) = x3 - 34 x + c, f ′(x) = 3x2 - 34 . 令f ′(x) = 0,解得 x = - 12 或 x = 1 2 . f ′(x)与f(x)的情况为: x -∞,- 12( ) - 1 2 - 1 2 , 1 2( ) 1 2 1 2 , + ∞( ) f ′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ c + 14 ↘ c - 1 4 ↗ 因为 f(1) = f - 12( )= c + 1 4 , 所以当 c < - 14 时,f(x)只有大于 1 的零点. 因为 f( - 1) = f 12( ) = c - 1 4 ,所以当 c > 1 4 时,f(x)只有小于 - 1 的零点. 由题设可知 - 14 ≤c≤ 1 4 . 当 c = - 14 时,f(x)只有两个零点 - 1 2 和 1. 当 c = 14 时,f(x)只有两个零点 - 1 和 1 2 . 当 - 14 < c < 1 4 时,f(x)有三个零点 x1,x2, x3,且 x1 ∈ -1, - 1 2( ), x2 ∈ - 1 2 , 1 2( ), x3∈ 1 2 ,1( ). 综上,若f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点, 则f(x)所有零点的绝对值都不大于 1. [练案 18] 1. [解析] 　 (1)当 x∈ - 5π4 , - π 4[ ]时, f(x) = ex - 2 sin x + π4( )≥e x > 0; 当 x∈ - π4 , 3π 4( )时, f ′ ( x ) = ex - 2 cos x + π4( )为 增 函 数 且 f ′(0) = 0,f( x) 在 - π4 ,0( )减,在 0, 3π 4( )上 增,因此 f(x)≥f(0) = 0,恒有 f(x)≥0; 当 x∈ 3π4 , + ∞[ )时, f ′(x) =