第二章 第十讲 函数模型及其应用-2022新高考数学【衡中学案】1轮总复习（通用版·老教材）

成立,故函数f(x)在 R 上单调递增,而 f(0) = e0 + 0 - 2 = - 1 < 0,f(1) = e1 + 1 - 2 = e - 1 > 0,所以函数f(x)的零点 a∈(0,1); 由题意,知 g′(x) = 1x + 1 > 0 在 x∈(0, + ∞ ) 内恒成立,故函数 g( x)在区间(0, + ∞ )内单 调递增. 又 g(1) = ln 1 + 1 - 2 = - 1 < 0,g(2) = ln 2 + 2 - 2 = ln 2 > 0, 所以函数 g(x)的零点 b∈(1,2) . 综上,可得 0 < a < 1 < b < 2. 因为f(x)在 R 上是 单调递增的, 所以 f(a) < f(1) < f(b) . 故选 A. 5. D 　 假 设 a < b < c, 通 过 作 图 可 得 a ∈ - 12 ,0( ),b + c = 2,所以 a + b + c∈ 3 2 ,2( ), 故选 D. 第十讲　 函数模型及其应用 知识梳理 知识点 递增　 递增　 快　 慢　 y 轴　 x 轴 双基自测 1. (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × [解析] 　 (1)当 x = - 1 时,2 - 1 < ( - 1) 2 . (2)“指数爆炸”是针对 b > 1,a > 0 的指数型函 数 g(x) = a·bx + c. (3)幂函数增长速度是逐渐加快的,当变量较 小时,其增长很缓慢,题目说的太绝对,也没有 任何条件限制. (4) 当 a ∈ ( 0, 1 ) 时 存 在 x0, 使 ax0 < xa0 < logax0 . 2. D 3. D　 根据 x = 0. 50,y = - 0. 99,代入计算,可以 排除 A;根据 x = 2. 01,y = 0. 98,代入计算,可 以排除 B、C;将各数据代入函数 y = log2 x,可知 满足题意,故选 D. 4. A　 ∵ 繁殖数量 y 只与时间 x 年的关系为 y = alog3(x + 1),这种动物第 2 年有 100 只, ∴ 100 = alog3(2 + 1),∴ a = 100, ∴ y = 100log3(x + 1), ∴ 当 x = 8 时,y = 100log3 (8 + 1) = 100 × 2 = 200. 故选 A. 5. 18　 利润 L(x) = 20x - C(x) = - 12 ( x - 18) 2 + 142, 当 x = 18 时,L(x)有最大值. 6. C　 本题以 Logistic 模型和新冠肺炎为背景考 查指数、对数的运算. 由题意可得 I ( t∗ ) = K 1 + e - 0. 23( t∗ -53) = 0. 95K,化简得 e - 0. 23( t∗ -53) = 119 ,即 0. 23 ( t ∗ - 53) = ln 19,所以 t∗ = ln 19 0. 23 + 53≈ 3 0. 23 + 53≈66. 故选 C. 考点突破·互动探究 例1. [解析] 　 (1)通过题图可知 A 不正确,并不 是逐月增加,但是每一年是递增的,所以 B 正 确. 从图观察 C 是正确的,D 也正确,1 月至 6 月比较平稳,7 月至 12 月波动比较大. 故选 A. (2)由图形可得各月的平均最低气温都在 0 ℃ 以上,A 正确;七月的平均温差约为 10 ℃ ,而 一月的平均温差约为 5 ℃ ,故 B 正确;三月和 十一月的平均最高气温都在 10 ℃ 左右,基本 相同,C 正确;平均最高气温高于 20 ℃的月份 只有 2 个,D 错误. 故选 A、B、C. (3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规 则的形状,且函数图象的变化先慢后快,所以 容器下边粗,上边细. 再由 PQ 为线段,知这一 段是均匀变化的,所以容器上端必是直的一 段,故排除 A、C、D,选 B. [答案] 　 (1)A　 (2)ABC　 (3)B 例2. [解析] 　 由题意可知,当 x = 5 730 时, ae - 5 730k = 12 a,解得 k = ln 2 5 730 . 现测得湖南长 沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原 始量的 76. 7% . 所以 76. 7% = e - ln 2 5 730x,得 ln 0. 767 = - ln 25 730x, x = - 5 730 × ln 0. 767ln 2 = - 5 730 × log2 0. 767≈ 2 292. [答案] 　 2 292 [变式训练 1] 　 [答案] 　 1 024 [解 析 ] 　 依 题 意 得 alog48 + b = 1, alog464 + b = 4, { 即 3 2 a