专题08 集合中含有参数问题重难点突破-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用）

专题08 集合中含有参数问题 一、考情分析 二、经验分享 【重难点突破 】 1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B . 3．奇数集：. 4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域. 5. 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即； ②交集的补集等于补集的并集，即． 三、题型分析 (一) 元素与集合的关系中含有参数问题 方法导入 已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见题型，一般利用分类讨论思想求解 步骤 第1步：由元素属于或不属于集合入手分类讨论； 第2步：将求得参数值回代到集合，利用集合元素的互异性检验能否构成集合； 第3步，经检验后找出符合条件的参数的值及得所求； 反思 要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验 例1．（1）（2020·江苏高一课时练习）已知，，若集合，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题可根据得出，然后通过计算以及元素的互异性得出、的值，即可得出结果. 【详解】 因为， 所以，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性， 故，，， 故选：B. 【点睛】 易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题. （2）．（2020·河北沧州市·高一期中）已知集合，若，则中所有元素之和为（ ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】 根据，依次令中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果. 【详解】 若，则，矛盾； 若，则，矛盾，故， 解得（舍）或， 故，元素之和为， 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行取舍. 【变式训练1-1】．（2020·临猗县临晋中学高一月考）集合，，若且，则的取值为（ ） A． B．4 C．或 D．或1 【答案】B 【分析】 根据分类讨论解得，利用检验结果即可求解. 【详解】 因为， 若，此时，， 与不符合， 若，解得或， 当时，，满足， 当时，，不满足， 综上知， 故选：B 【点睛】 本题主要考查了元素与集合的关系，集合与集合的包含关系，属于中档题. 【变式训练1-2】．（2021·全国高三专题练习（理））已知集合M＝，若，则实数a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】 分别求得a＝0，a>0，a<0三种情况下，x的解集，根据题意，列出不等式，即可求得a的范围. 【详解】 由集合M＝，得(ax－5)(x2－a)<0， 当a＝0时，得，显然不满足题意， 当a>0时，原不等式可化为， 若，则解得或， 所以只需满足，解得； 若，则解得或， 所以只需满足，解得9<a≤25， 当a<0时，当时，(ax－5)(x2－a)<0恒成立，不符合题意， 综上，实数a的取值范围是． 【点睛】 解题的关键是掌握高次不等式的解法，即①保证x最高次幂系数为正，②分解因式，令各个因式等于0，求得对应的x，并按从小到大的顺序，标记在数轴上，③从右上角开始，“奇穿偶回”，④结合不等号，求得解集. 例2．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知M是满足下列条件的集合：①，；②若，则；③若且，则. （1）判断是否正确，说明理由； （2）证明：； （3）证明：若，则且. 【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】 （1）根据定义确定包含元素； （2）根据定义依次确定包含元素； （3）根据定义确定包含元素，即得结论；根据定义依次确定包含元素,即得结论． 【详解】 （1）正确，证明如下：由①知， 由②可得； （2）证明：由（1）知，又 ∴， 由③得； （3）证明：由①知 由题知，∴由②可得 又∵，∴，即； 证明：由，， 当时，则； 当时，则； 当且时，由②可得， 再由③可得， ∴即， ∴即， ∴即当， 又因为当，，∴，∴ ∴当，可得 ∴． 【点睛】 关键点点睛：本题考查新定义判断元素与集合关系，正确理解新定义是解题的