专题06 集合的概念及其表示重难点突破-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用）

专题06 集合的概念及其表示 一、考情分析 二、经验分享 【知识点一、集合的概念】 1．集合与元素 一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示． 说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 2．元素与集合的关系 如果是集合的元素，就说属于集合，记作___________；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作___________． 注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立． 3．集合中元素的特征 （1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准． （2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的． （3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系． 4．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 【知识点二、常用的数集及其记法】 1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N； 2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作或； 3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z； 4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q； 5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R． 易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分． 【知识点三、集合的表示方法】 1．列举法 把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性． （2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是． 2．描述法 用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________． 说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式． 【知识点四、Venn图，子集】 1．Venn图的概念 我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图． 说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 2．子集 （1）子集的概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示AB如图所示： （2）子集的性质 ①任何一个集合是它自身的子集，即． ②传递性，对于集合，，，如果，且，那么． 【知识点五、从子集的角度看集合的相等】 如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示． 【知识点六、真子集】 1．真子集的概念 如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）． 如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示： 2．真子集的性质 对于集合，，，如果，，那么． 辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则． 【知识点七、空集】 1．空集的概念 我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集． 2．空集的性质 （1）空集是任何集合的___________，即； （2）空集是任何非空集合的___________，即． 注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解 三、题型分析 (一) 集合的概念 判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象． 例1．（1）（2020·唐山市丰润区第二中学高一月考）下列四组对象能构成集