专题04 不等式重难点突破-【教育机构专用】2021年暑假初升高数学精品讲义（全国通用）

专题04 不等式 初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识． 1、 知识结构思维导图 2、 学法指导与考点梳理 考点一 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实数根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R 一元二次不等式 ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 考点二 恒成立问题 由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 3、 重难点题型突破 重难点题型突破1、含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为的形式． (1) 当时，不等式的解为：； (2) 当时，不等式的解为：； (3) 当时，不等式化为：； ① 若，则不等式的解是全体实数；② 若，则不等式无解． 例1．（1）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 分别解一元一次不等式，求交集即可. 【详解】 由可得，， 解得， 所以不等式组的解集为， 故选：D （2）．一元一次不等式组的解集是，则与的关系为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据同大取大即可得． 【详解】 不等式组的解集是， ， 故选A. 【点睛】 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （3）．关于 的一元一次不等式组中两个不等式的解集在同一数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是_______，的值为_______. 【答案】 2 【分析】 分别求得不等式的解集和，结合图象，即可求解. 【详解】 由，解得；由，解得， 由题图知这个不等式组的解集是，且，所以. 故答案为； 2. 【点睛】 本题主要考查了一元一次不等式组的求解及应用，其中熟记不等式组的解法是解答的关键，着重考查数形结合思想的应用. 【变式训练1-1】．关于的一元一次不等式组有解，则直线不经过第____象限． 【答案】三 【分析】 根据不等式组有解，在数轴上画出图像，由此求得的取值范围，再根据直线的斜率和截距，判断出直线不经过的象限. 【详解】 将不等式组中各个不等式的解集在数轴上表示出来： （1）当3b–2<b+2时，如示意图中的①，上述不等式组无解，不合题意； （2）当3b–2=b+2时，如示意图中的②，上述不等式组无解，不合题意； （3）当3b–2>b+2时，如示意图中的③，上述不等式组有解，符合题意． 因此，根据题目条件，b的取值应该满足：3b–2>b+2，解这个不等式，得b>2， 对照一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0)，在直线y=–x+b中，k=–1<0，b>2>0可知， 直线y=–x+b应该经过第一、二、四象限，即不经过第三象限．故答案为三． 【点睛】 本小题主要考查一元一次不等式组有解的知识，考查一次函数经过的象限问题，属于基础题. 【变式训练1-2】已知一次函数f(x)＝ax－2. (1)当a＝3时，解不等式|f(x)|＜4； (2)解关于x的不等式|f(x)|＜4； (3)若关于x的不等式|f(x)|≤3对任意x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） ；（2）当a＞0时，原不等式的解集为；当a＜0时，原不等式的解集为；（3）[－1,5]. 【分析】 （I）a=3时，f（x）=3x﹣2，然后代入|f（x）|＜4，去绝对值后即可求出x的取值范围； （II）先去绝对值，然后讨论a的符号，分别求出相应的解集即可； （III）将若不等式|ax﹣2|≤3对任意x∈（0，1]恒成立，转化成﹣3≤ax﹣2≤3对任意x∈（0，1]恒成立，然后根据一次函数的单调性即可求出a的取值范围． 【详解】 (1)当a＝3时，f(x)＝3x－2， 所以|f(x)|＜4⇔|3x－2|＜4⇔－4＜3x－2＜4⇔ －2＜3x＜6⇔－＜x＜2.所以原不等式的解集为. (2)|f(x)|＜4⇔|ax－2|＜4⇔－4＜ax－2＜4⇔－2＜ax＜6. 当a＞0时，原不等式的解集为； 当a＜0时，原不等式的解集为. (3)|f(x)|≤3⇔|ax－2|≤